Usuari:Mcapdevila/Cinquè postulat d'Euclides

En geometria, el postulat de les paral·leles o cinquè postulat d'Euclides, ja que és el cinquè postulat dels Elements d'Euclides, és un axioma distintiu de la geometria euclidiana. El postulat afirma:

«	Postúlese ... I que si una recta en incidir sobre dues rectes fa els angle intern de l mateix costat menors que dos rectes, les dues rectes prolongades indefinidament es trobaran en el costat en què hi ha els angles menors que dos rectes.	»
— Euclides

El «cinquè postulat d'Euclides». Els anglès α+β <180 º.

Euclides, en el seu tractat "Els elements", construeix tota la geometria fins llavors coneguda-la que després es va dir geometria euclidiana - basant-se en tan sols 13 definicions, vuit nocions comuns i cinc postulats.

Algunes formulacions equivalents del V postulat

1. La suma de [les mesures de] els anglès de qualsevol triangle és igual a [la suma de les mesures de] Dos caironat.
   Elements, I, 32. (Proposició ja coneguda en temps de Aristòtil, segle IV aC)
2. Les rectes paral·leles són equidistants (atribuït a Posidoni, segles I-II aC)
3. Per un punt exterior a una recta només cal traçar una paral·lela (Claudi Ptolemeu segle II). Aquesta és, sens dubte, la formulació més coneguda del postulat. Tant és així que és molt freqüent trobar llibres en què es diu que és aquest el cinquè postulat d'Euclides.
4. Dues rectes paral·leles guarden entre si una distància finita (Procle, segle V).
5. Les rectes no equidistants convergeixen en una direcció i divergeixen en la oposada (Thabit ibn Qurra, h. 826-901).
6. Tots els punts equidistants d'una línia recta, situats a un costat determinat d'ella, constitueixen una línia recta (Clavier, 1574).
7. Sobre una recta finita sempre es pot construir un triangle semblant a un triangle donat (Wallis, 1663).
8. Hi ha un parell de triangles no congruents, però semblants (Saccheri, 1733).
9. En tot quadrilàter que contingui tres grandaria, el quart angle també és recte. (Clairaut, 1741).
10. Es pot construir un triangle l'àrea sigui més gran que qualsevol àrea donada (Carl Friedrich Gauss, 1799).
11. Donats tres punts no alineats, sempre serà possible construir un cercle que passi per tots ells (Legendre, 1824).

No hi ha patró mètric absolut de longitud (Gauss, 1816).

La dificultat i el problema

Per a la mentalitat contemporània resulta difícil entendre que es considerés polèmic el V postulat. Això és així perquè l'enunciat que s'ha popularitzat per reemplaçar a l'enunciat original és el de Ptolomeu (el 3 º en l'apartat Algunes formulacions equivalents del V postulat ). Però, encara que és equivalent, l'enunciat original és: I que si una recta en incidir sobre dues rectes fa els angle intern del mateix costat menors que dos rectes, les dues rectes prolongades indefinidament es trobaran en el costat en què hi ha els angles menors que dos rectes.

Els cinc postulats d'Euclides són els següents:

1. Postúlese el traçar una línia recta des d'un punt qualsevol fins a un punt qualsevol.
2. I el perllongar contínuament una recta finita en línia recta.
3. I el descriure un cercle amb qualsevol centre i distància.
4. I l'ésser tots els anglès rectes iguals.
5. I que si una recta en incidir sobre dues rectes fa els angle intern de l'mateix costat menors que dos rectes, les dues rectes prolongades indefinidament es trobaran en el costat en què hi ha els menors que dos rectes.

En llegir-lo tal com el va escriure Euclides i dins del seu context, és fàcil comprendre que molts consideressin que el V postulat, molt més complicat en la seva formulació que els altres quatre, sembla no encaixar entre aquests. El problema és perquè si realment és el V postulat independent dels altres quatre, o bé pot deduir d'ells (juntament amb les nocions comunes i les definicions). És realment un postulat o s'ha d'incloure entre les proposicions i teoremes?

Des del principi hi ha diferents dificultats (de tipus, diguem, psicològic) en acceptar com postulat, i aquestes donen lloc a diferents posicions respecte a aquest. D'una banda hi havia els que ho acceptaven sense més com un postulat. En un altre sector hi havia els que prefereixen incloure'l entre les nocions comuns (tipus Les coses iguals a una mateixa cosa són també iguals entre si. ). Però eren molts els que consideraven que segurament era possible provar a partir dels altres quatre postulats (i de les definicions i nocions comuns). Probablement influís decisivament en aquesta posició el fet que el postulat sigui una proposició condicional.

A la discussió s'arriba a dir coses com:

«	[...] l'afirmació que com convergeixen més i més a mesura que es prolonguen, arribaran mai a trobar-se, és una afirmació versemblant però no és necessària a falta d'un argument que provi que això és veritat sobre de les línies rectes. Doncs el fet que hi hagi algunes línies que s'aproximen indefinidament però romanen sense tocar-se, per més improbable i paradoxal que sembli, també és cert i està completament comprovat en relació amb línies d'un altre tipus. Per què en el cas de les rectes no és possible el mateix que passa amb les línies esmentades?	»
— Procle, Comentaris als Elements .

En el fons d'aquest tipus de discussions està l'horror a l'infinit que es troba present en la cultura clàssica. La possibilitat que les coses succeeixin a l'infinit els produeix als grecs veritable repulsa.

La independència del V postulat i les geometries no euclidianes

Uns 22 segles després que es escrivissin els Elements per fi s'arriba a una conclusió: el V postulat és independent dels altres quatre. I s'arriba a aquesta resposta mitjançant un camí sorprenent. La prova de la independència del V postulat porta implícita la possibilitat que hi hagi geometries en què no es compleix aquest postulat. Dit d'una altra manera: des del punt de vista lògic no hi ha contradicció cap en suposar que per un punt exterior a una recta puguin passar més d'una paral·lela a la recta, o fins i tot cap.

Sembla difícil comprendre aquesta afirmació, ja que en l'experiència comú sabem que (excepte errors de dibuix), el V postulat és cert. Per comprendre-ho hem de fer un esforç d'abstracció per intentar oblidar el nostre significat intuïtiu de què és una recta i anar únicament a les definicions d'Euclides.

Segons Euclides una línia és una longitud sense amplada ( Elements , Llibre I, Definicions, 2), Una línia recta és la que rau de la mateixa manera respecte dels punts que estan en ella ( Elements , Llibre I, Definicions, 4), Una superfície és el que només té longitud i amplada ( Elements , Llibre I, Definicions, 5), Unes superfície plana és aquella que jeu per igual respecte de les línies que estan en elles ( Elements , Llibre I, Definicions, 7), Són rectes paral·leles les que estant en el mateix pla i sent prolongades indefinidament en ambdós sentits, no es troben una a una altra en cap d'ells ( Elements , Llibre I, Definicions, 23) i Postúlese el traçar una línia recta des d'un punt qualsevol fins a un punt qualsevol ( Elements , Llibre I, Postulats, 1). De tota manera, ja que és més senzill per al nostre propòsit, considerarem la definició donada per Arquimedes a "Sobre l'esfera i el cilindre": la recta és la més curta de totes les línies que tenen els mateixos extrems .

Ara bé, excepte perquè tenim una noció de recta i de pla que ens permeten comprovar que aquestes nocions encaixen en les definicions donades, aquestes són massa difuses des del punt de vista lògic com per considerar que no puguin ser vàlides altres interpretacions. Per exemple, si considerem una superfície esfèrica i li donem la denominació de pla , encaixa perfectament en les definicions de pla. En aquest cas, una recta hauria de ser (en virtut del que s'ha dit, en especial de la propietat de ser la línia més curta) el tros de circumferència màxima (és a dir, una circumferència que passa per dos punts diametralment oposats de la superfície esfèrica) que passa per dos punts donats. En aquesta situació, per un punt exterior a una recta no passaria cap recta paral·lela a la donada.

L'aparició de les geometries no euclidianes

Al segle XIX es dóna conclusió al problema de la independència del V postulat. Ho fan de manera independent Bolyai i Lobachevsky, encara que Gauss ja havia resolt el problema amb anterioritat (això sí, no havia publicat els seus resultats, i la paternitat del descobriment va ser per als altres dos geòmetres). La idea és molt simple: en Matemàtica no està permès arribar a una contradicció, és a dir, obtenir un resultat que sigui exactament la negació d'un altre resultat. No pot obtenir que partint de les mateixes hipòtesis sigui cert, al mateix temps, que (per exemple) dues rectes es tallin i que aquestes dues mateixes rectes no es tallin. S'arribaria a la conclusió que (de no haver comès errors de raonament, és clar) alguna de les hipòtesis ha de ser falsa.

La idea que va donar solució al problema és la següent: si el V postulat depèn dels altres quatre, és que no ens cal incloure'l entre les nostres hipòtesis (postulats). Així que en el desenvolupament de la teoria, tard o d'hora, apareixerà en forma de teorema. Ara bé, si eliminem aquest postulat i hi afegim la seva negació, si és cert que el postulat V depèn dels altres, arribarem a demostrar-ho, i amb això haurem de tant una proposta (el V postulat) com la seva contrària (la negació del V postulat que ara el substitueix) són certes. Haurem doncs arribat a una contradicció, cosa que no és admissible. Alguna de les hipòtesis ha de ser falsa, i aquesta ha de ser la nova que s'ha introduït, ja que és l'única que xoca contra la nostra intuïció (les altres sabem que són certes perquè ja ho eren en la geometria d'Euclides).

En contra del que es podria pensar, amb aquest mètode no es va arribar a cap contradicció. És més, es va arribar a demostrar que les geometries així obtingudes per Bolyai i per Lobachevsky eren consistents (el que vol dir que no contenien contradicció lògica cap). A més hi ha diferents formes de negar el V postulat (per un punt exterior a una recta no passa una única recta paral·lela a la mateixa) i així diferents geometries no euclidianes: per exemple, si diem que no passa cap recta, s'obté la geometria esfèrica, que ja hem presentat, i si diem que passen infinites s'obté la geometria hiperbòlica, la de Lobachevsky.

El V postulat i la investigació geomètrica actual

En l'actualitat la geometria utilitza mètodes diferents del sintètic (establir una sèrie d'axiomes i deduir d'ells les propietats geomètriques de l'objecte a estudiar), que han estat substituïts per mètodes topològics, analítics i algebraics. Quan s'estudia un espai ja no resulta "interessant" saber si compleix o no el V postulat d'Euclides (encara que normalment és un resultat que s'obté fàcilment com a conseqüència de l'estudi d'altres propietats més interessants en l'actualitat, com és la de calcular el tensor curvatura de l'espai en qüestió-indirectament això ens confirmarà o no si l'espai compleix amb el V postulat). La qüestió sobre el V postulat ha quedat relegat a un problema històric que ha contribuït enormement al desenvolupament de la geometria, però que actualment sembla que ja no pot seguir contribuint en aquest sentit, i és pres com una qüestió secundària en l'estudi de la geometria d'un espai.

Vegeu també

• història de la geometria