Usuari:Mcapdevila/Massa de la Terra

La massa de la Terra comparada amb la de Neptú és com la massa de Neptú comparada amb la de Júpiter.

La massa terrestre o massa de la Terra (M_⊕) és una unitat de mesura de massa utilitzada en astronomia i astrofísica per mesurar comparativament la massa dels planetes, exoplanetes i altres objectes astronòmics poc massius, com ara els asteroides o planetes nans. És equivalent a la massa de la Terra (M_⊕ = 5,9722 × 10²⁴ kg. )

S'obté a partir del coneixement detallat proporcionat per la geodèsia espacial de la constant geocèntrica (GM) i el coneixement molt menys precís proporcionat per la física de la constant de gravitació universal (G) de Newton.

La massa de la Terra s'utilitza sovint per descriure les masses dels planetes rocosos o terrestres. Els quatre planetes terrestres del sistema solar són Mercuri, Venus, la Terra i Mart, i tenen unes masses de 0,055 ; 0,815; 1,000 i 0,107 vegades la massa terrestre, respectivament.

Comparació amb altres cossos celestes

La massa de la Terra es pot comparar amb les d'altres cossos celestes i equival a:

• 81,3 vegades la massa Lluna r (M_L)
• 0,00315 vegades la massa de Júpiter (M_J) (La massa de Júpiter és 317,83 vegades la massa de la Terra)
• 0,0105 vegades la massa de Saturn (M_J) (La massa de Saturn és 95,16 vegades la massa de la Terra)
• 0,0583 vegades la massa de Neptú (M_J) (La massa de Neptú és 17,147 vegades la massa de la Terra)
• 0000 003.003 vegades la massa solar (M_S). La massa solar (M_⊙) equival a 332.946 masses terrestres (M_⊕).

Mètodes directes per a determinar la constant geocèntrica, GM

En aquesta secció es descriu com s'ha arribat a determinar amb precisió la massa de la Terra, des de les idees inicials proposades per Isaac Newton al segle XVII fins a l'actualitat. Gran part de la història d'aquesta determinació està relacionada amb la història de la geodèsia i està estretament relacionada amb la determinació de la forma de la Terra, l'altra part pertany a la història de la física i la sèrie d'experiments que van permetre determinar la constant de gravitació universal, que es va iniciar al final del segle XVIII amb Henry Cavendish.

Utilitzant la tercera llei de Kepler

Es poden considerar a priori dos tipus de mesures per determinar el producte GM (constant de gravitació per la massa de la Terra). En primer lloc, la tercera llei de Kepler aplicada als moviments d'un satèl·lit (de massa 'm_s') al voltant de la Terra (massa M) es pot escriure com

$G(M+m_{s})={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{\tau ^{2}}}$

Aquí G és la constant de gravitació, a és el semieix major de l'el·lipse de Kepler, i τ és el període orbital. Quan la massa del satèl·lit és menyspreable ( m_s «M ), s'obté un GM ≅ 4π² a³/τ². Per descomptat, per tal d'obtenir un valor més exacte dels productes G (M+m_s ), cal fer correccions (calculables) per reflectir els efectes pertorbadors. El fet és que els mesuraments astronòmiques de a i τ, i, possiblement, una mesura independent de G · m_s, permet determinar amb precisió el producte GM. Aquesta última és sovint anomenada constant gravitacional geocèntrica, o simplement constant geocèntrica.

Ús de pèndols

Esquerra: pèndol simple (matemàtiques); dreta: pèndol compost (física). El punt de suspensió O i el punt d'oscil·lació O ' són recíprocs: si se suspèn el pèndol de O ', el punt de suspensió O es converteix en el nou centre d'oscil·lació, de manera que el període d'oscil·lació del pèndol no canvia. De fet, O ' es troba de O a la distància ℓ al llarg de la direcció OG, on G és el centre de gravetat del pèndol.

La constant GM també es pot determinar a partir de mesures amb pèndols. Simplificant una mica, podem menysprear la rotació terrestre i suposar que la Terra esfèrica. La intensitat de l'acceleració de la gravetat (g = 9,8 m/s²) en la superfície de la Terra és llavors g = GM/R² , on R és el radi mitjà de la Terra. Si tenim un pèndol simple de longitud ℓ, aquesta acceleració produeix un període d'oscil·lació T = 2π √ (ℓ/g). Per tant, el coneixement de la longitud ℓ i una mesura de la durada del període T permet determinar el producte de GM amb la fórmula

$GM={\frac {4\pi ^{2}lR^{2}}{T^{2}}}$

Un pèndol simple és una abstracció matemàtica. De fet, sempre s'utilitza un pèndol compost. Aquest últim consisteix d'un cos de massa m, amb una forma curosament estudiada, oscil·lant al voltant d'un eix horitzontal en un punt fix. El període d'oscil·lació d'un pèndol compost està donat per la fórmula T = 2π √ [I/(MGD)], on I és el moment d'inèrcia del cos de massa m pel que fa al eix de gir i d és la distància des d'aquest eix al baricentre o centre de masses del cos. També es defineix la longitud del pèndol compost sincrònic ℓ com la longitud del pèndol simple que té el mateix període, ℓ = I/(md) per ℓ> d.

Alguns observadors que van realitzar experiments amb pèndols van ser Jean Richer, Christiaan Huygens, Pierre Bouguer, Pierre Louis Moreau de Maupertuis i altres. A mitjan el segle XVII el pèndol probablement no va ser concebut pel seu possible ús per mesurar el temps, però més tard va començar a ser utilitzat com un rellotge pels astrònoms. Richer va comprovar el 1672, que un pèndol que batia segons exactes a París (49° N), retardava uns dos minuts i mig per dia en Cayenne (5° N). També Varin i Des Hayes van constatar desviacions similars a l'illa de Gorée (15° N), de manera que la idea que un cos posseeix menys pes a l'equador que als pols era acceptada en l'Acadèmia de Ciències de París, fins i tot abans de la publicació dels Principia Mathematica de Newton. Aquests resultats li van permetre confirmar la teoria de l'aplanament de la Terra i la teoria de la gravitació.

Suggeriments d'Isaac Newton

Retrat d'Isaac Newton (1643 - 1727) per Godfrey Kneller (1689)

Més tard, Isaac Newton va proposar dos mètodes diferents per determinar per separat ja sigui G o M.

1. Mesurar l'atracció al laboratori de dos cossos de masses conegudes i separats entre si per una distància coneguda, per tal de determinar G,
2. Mesurar la desviació de la plomada respecte de la vertical prop d'una muntanya de massa calculable M ' per estimar la relació M/M ', i per tant la massa M de la Terra.

Els primers intents per determinar la massa de la Terra pel segon mètode són les de Bouguer, durant l'expedició al Perú (1735-1744). El primer experiment per mesurar G al laboratori es va intentar amb èxit seixanta anys després per part d'Henry Cavendish en 1798.

El fet que una determinació directa de la constant gravitacional G no s'intentés fins molt temps després de la mort de Newton, es deu probablement a una subestimació lamentable de les possibilitats pràctiques de realitzar aquesta experiència. Newton va considerar l'atracció entre dues esferes (cada un amb una densitat igual a la densitat mitjana de la Terra i un diàmetre de 1 peu) i va escriure que "si distaren entre si només 1/4 de polzada, no s'unirien per l'acció de la seva atracció mútua, fins i tot sense fregament, en un temps menor d'un mes... De fet, fins i tot muntanyes senceres, no serien suficients per produir un efecte notable. "

Recordem que Newton havia estableixen les seves Principia que l'atracció gravitacional a l'exterior d'una esfera amb massa seria la mateixa que si tota la massa es concentrés en el centre de l'esfera. Segons aquest teorema, la intensitat de la gravetat en la superfície de la Terra, que se suposa esfèrica, es pot escriure

$g={\frac {GM}{R^{2}}}={\frac {G{\frac {4}{3}}\pi R^{3}{\bar {\rho }}}{R^{2}}}={\frac {4\pi G{\bar {\rho }}R}{3}}$

Sense saber ni G ni ρ (densitat mitjana de la Terra), l'última relació era de poc interès pràctic per Newton. No obstant això, per raonament heurístic, va concloure que la densitat mitjana havia d'estar entre 5 i 6 vegades la de l'aigua. Tenint una estimació de la densitat ρ, Newton podria haver trobat la magnitud de G. Per tant, és sorprenent l'estimació tan grollerament errònia sobre el temps que trigarien dues esferes en posar-se en contacte sota la influència de la seva atracció mútua.

Massa de la Terra a partir de desviacions de la vertical

L'experiència de Bouguer en el Chimborazo

La presència d'una muntanya (el volcà Chimborazo en els experiments de Bouguer en el Perú), afecta la direcció vertical marcada per una plomada per l'existència d'un component d'atracció cap al centre de gravetat de la muntanya, que modifica la component d'atracció cap al centre de la Terra. Aquesta desviació de la vertical (es denota com δ) és més gran com més a prop del centre de gravetat de la muntanya.

Durant l'expedició a l'Equador, Pierre Bouguer va tractar de determinar la densitat mitjana de la Terra per dos mètodes diferents. Els seus comentaris no van donar lloc a valors exactes, però van ser seguits per millores en les dècades següents que van conduir a valors de la densitat mitjana del planeta (ρ) que, sense ser precisos, no estan lluny del valor correcte. El primer dels mètodes utilitzats per Bouguer va ser el proposat per Newton, és a dir, mesurar la desviació de la vertical produïda per una muntanya, el segon es refereix a mesures amb pèndols i va ser dissenyat i desenvolupat per ell mateix.

Bouguer en 1738 va tractar de determinar la densitat mitjana (i per tant la massa) de la Terra, fent mesuraments de la desviació d'una plomada respecte de la vertical, causada per l'atracció d'una muntanya situada prop de l'estació d'observació. Ell va triar el volcà Chimborazo (6250 m sobre el nivell del mar, situat a la latitud 1° 25' S), una muntanya de la Serralada dels Andes que té una forma bastant regular la qual cosa permet estimar la posició del centre de gravetat. La primera estació va ser establerta en el vessant sud a una altura d'uns 4700 metres situada sobre el mateix meridià que el suposat centre de gravetat. Es van fer observacions meridianes d'un grup de estrelles dels hemisferis nord i sud, respectivament. Arran de la desviació de la plomada en un angle δ causa de l'atracció del veí Chimborazo, l'alçada aparent de les estrelles del grup del nord seria una mica menor que l'alçada real (és a dir, l'altura que s'observaria en la mateixa latitud i al mateix temps en una regió desproveïda de topografia) en una quantitat δ, mentre que l'altura aparent de les estrelles del grup del sud va ser més gran que l'altura real en aquesta mateixa quantitat δ. Com que no sabia l'alçada real de les estrelles observades Bouguer va establir una segona estació 330 metres més avall i al voltant de 7300 metres a l'oest de la primera estació per dur a terme mesures similars de les mateixes estrelles. Aquestes mesures van permetre eliminar les altures reals desconegudes. Bouguer va calcular que la desviació teòrica respecte de la vertical, donat el volum de la muntanya, ascendiria a δ_t ≅ 1'43 "· ρ '/ ρ , on ρ ' és la densitat mitjana de les roques de la muntanya. El valor que es va mesurar va ser: ρ_mesurat ≅ 8 ". Es va deduir una relació ρ /ρ ' superior a 12, mentre que el veritable valor és proper a 2. Bouguer va ser, òbviament, conscient que les seves determinacions de la relació ρ /ρ ' estaven molt separades de la veritat, llevat que acceptés que el Chimborazo estava buit. En realitat, les experiències de Bouguer van ser imprecises però van servir com a model per altres experiències similars posteriors.

Experiència de Maskelyne a la muntanya Schiehallion

Article principal: Experiment de Schiehallion

Noves mesures de desviació de la vertical seria empreses per un equip de científics britànics. L'astrònom Nevil Maskelyne (1732-1811) va proposar el 1772 la repetició de l'experiència del Chimborazo. Amb aquesta finalitat, un comitè de la Royal Society de Londres va seleccionar la Muntanya Schiehallion (o Muntanya Schehallien) en Perthshire, Escòcia. Aquesta muntanya, el cim s'eleva a 1010 m, té una cresta curta que corre d'est a oest, i forts pendents cap al nord i el sud. Es prestava bé a les experiències encara que la seva massa, i per tant el seu efecte en la desviació de la vertical era, òbviament, molt menor que la de Chimborazo. Entre els dècada del 1774 i 1776, es van establir dues estacions en el mateix meridià, una al costat nord i una altra al costat sud. A cada estació, Maskelyne va realitzar gairebé 170 determinacions de distàncies zenitals aparents de més de 30 estrelles i va trobar entre les dues estacions una diferència en l'altura mitjana de 54,6". La diferència entre aquest valor i la diferència de latitud mesura (42, 9") era de 11,7", i va ser assignada a la desviació de la vertical causada per la muntanya. El geòleg escocès James Hutton (1726-1797), un dels fundadors de la geologia moderna, i el físic britànic Henry Cavendish (1731-1810) van participar en els càlculs, que va donar el resultat 1,79 · ρ ≅ ρ ' . Una primera estimació de la densitat de la muntanya, ρ' ≅ 2,5 g/cm³, va fixar la densitat mitjana de la Terra ρ ≅ 4,5 g/cm³. Més tard, el 1821, el matemàtic escocès John Playfair va determinar amb més cura la densitat de les diferents capes de roca de la muntanya Schiehallion. Va aconseguir portar l'estimació de ρ a un rang entre 4,56 i 4,87 g/cm³. El 1821, es va aprovar definitivament el valor de ρ = 4,95 g/cm³. Molt més tard, el 1855, els enginyers militars Henry James i Alexander Ross Clarke van repetir l'experiència de la Muntanya Schiehallion als vessants de "Arthur 's Seat" (Seient d'Arturo), un antic volcà situat a prop d'Edimburg. Es va obtenir un valor bastant realista ρ = 5,3 g/cm³.

Isostàsia i limitacions del mètode de la desviació de la vertical

Els experiments de desviació de la plomada van demostrar que no era possible determinar la massa de la Terra amb menys del 10% d'error pel mètode de la desviació de la vertical. La raó rau en una certa compensació pels efectes de l'atracció de les muntanyes per un mecanisme anomenat isostàsia. En repetir l'experiment de Bouguer als Pirineus el 1849, Frédéric Petit es va adonar que era com si els Pirineus repel·lissin una mica la plomada en lloc de atreure-la. Petit va calcular la influència dels Pirineus sobre la direcció de la plomada en Tolosa i es va trobar que el valor observat era molt menor que el valor teòric. Aviat es va acceptar que aquesta troballa era quasi-general i que les mesures d'atracció de les muntanyes eren més petites que els valors calculats suposant que el material subjacent tenia una densitat normal. La Muntanya Schiehallion i Arthur 's Seat són excepcions notables, probablement a causa de les seves àrees limitades que no permeten la compensació isostàtica.

La massa de la Terra a partir de mesures amb el pèndol

Fórmula de Bouguer

Pierre Bouguer. Jean-Baptiste Perronneau, 1753.

Considerem la intensitat de la gravetat g(P) en un punt P situat a una distància r del centre de masses de la Terra, i la intensitat de la gravetat g(Q) en un altre punt Q situat a una distància r ' del mateix centre de la massa. Denotem per h la diferència d'altura entre Q i P, sent h> 0 ja que Q està a una altitud superior que P.

Bouguer va demostrar que per a mesuraments realitzats en la superfície de la Terra, $g(Q)\simeq g(P)\left[1-{\frac {2h}{R}}+{\frac {3\rho 'h}{2{\bar {\rho }}R}}\right]$

on R és el radi mitjà de la Terra. Aquesta relació és coneguda com a fórmula de Bouguer. El segon període, que comença amb un signe menys, representa la variació de la intensitat de la gravetat produïda per una variació en l'altura, independentment de la contribució de les capes situades entre l'altitud de P i la de Q. D'això se'n diu efecte de la correcció a l'aire lliure, o correcció de Faye, en honor a l'astrònom Hervé Faye (1814-1902). El tercer terme és l'atracció d'una placa de densitat uniforme ρ 'amb dimensions horitzontals de grans dimensions (idealment infinita). S'ha tingut en compte l'atracció de les masses situades entre l'alçada de P i la de Q que els mesuraments es realitzen en Q i es redueixen a l'altura de P. La fórmula de Bouguer queda com

${\bar {\rho }}\simeq {\frac {3h\rho '}{2R\,{\frac {g(Q)}{g(P)}}+4h-2R}}$

Això demostra que la densitat mitjana ρ (i per tant la massa) de la Terra s'expressa en termes de quantitats conegudes o mesurables, sempre que puguem estimar p 'correctament. Pierre Bouguer i els seus successors van mesurar les quantitats g(P) i g(Q) mitjançant pèndols. Modernament, s'utilitzen gravímetres que s'adapten millor a les limitacions en la precisió de la gravimetria i la geodinàmica. Bouguer i els seus companys van aplicar la relació anterior per determinar la densitat mitjana de la Terra a l'Equador, l'any 1737-1740. Per a això, van mesurar les longituds respectives d'un pèndol de freqüència igual a un segon en tres llocs de molt diferents altituds:

1. A la Illa del Inca del riu Esmeralda, amb una altitud entre 60 i 80 metres, situada a una distància d'uns 60 km al sud-oest de Quito,
2. En el propi Quito, a una altitud de 2900 metres i una latitud de 0,25° S.
3. En el cim del volcà Pichincha, prop de Quito, a una altitud de 4800 metres.

Sabent que per a un període determinat, en aquest cas un segon, la intensitat local de la gravetat és proporcional a la longitud del pèndol, i suposant que la ubicació de Quito coincideix amb la d'un altiplà, la fórmula de Bouguer va trobar empíricament que ρ ≅ 4,5 ρ '. Ara sabem que aquest valor 4,5 de la relació ρ /ρ 'va conduir a una estimació 2 a 3 vegades massa gran per a la massa de la Terra. No obstant això, aquesta determinació històrica demostrava que la Terra no era foradada o plena d'aigua al seu interior, com alguns argumentaven en aquest moment.

Experiments amb pèndols al segle XIX

Molt més tard, el 1821, Francesco Carlini va trobar, a través de mesuraments realitzats amb pèndols en l'àrea de Milà, el valor de ρ = 4,39 g/cm³ . Aquest valor va ser portat en 1827 per Edward Sabine fins 4,77 g/cm³, i després el 1841 per Carlo Ignazio Giulio fins 4,95 g/cm³. D'altra banda, George Biddell Airy va tractar de determinar ρ mesurant la diferència del període d'un pèndol entre la superfície i el fons d'una mina. Les primeres proves van tenir lloc a Cornwall entre 1826 i 1828. Van ser un fracàs a causa d'un incendi i una inundació. Finalment, el 1854, Airy va aconseguir el valor 6,6 g/cm³ gràcies als mesuraments en una mina de carbó a tip, al Sunderland. El mètode d'Airy suposa que la Terra té una estratificació esfèrica. A més, Airy admet valors particulars per a la densitat en profunditat. Més tard, el 1883, els experiments realitzats per Robert von Sterneck (1839-1,910) a diferents profunditats en mines de Saxònia i Bohèmia van proporcionar valors de la densitat mitjana ρ entre 5,0 i 6,3 g/cm³. Això va posar en evidència l'escàs crèdit que mereixien els supòsits d'Airy. De fet, el 1855, John Henry Pratt i el mateix Airy havien suggerit que ha d'haver una compensació de les densitats en profunditat. Així es va arribar al concepte de isostàsia, la qual limita la capacitat per mesurar ρ amb precisió, ja sigui per desviació de la vertical d'una plomada o usant pèndols. Malgrat aquestes possibilitats escasses d'aconseguir una estimació precisa de la densitat mitjana de la Terra d'aquesta manera, Thomas Corwin Mendenhall en 1880 va donar compte d'un experiment gravimètric en Tòquio i en la part superior del Fujiyama. El seu resultat va ser ρ = 5,77 g/cm³.

Experiment de Cavendish

Article principal: Experiment de Cavendish

Diagrama de la balança de torsió de Michell i Cavendish

El segon mètode suggerit per Newton per determinar la massa de la Terra consistia a determinar directament la constant de gravitació universal G. A finals del segle XVIII, John Michell va obrir el camí per a una mesura directa de G en el laboratori, per millorar els resultats poc precisos obtinguts en les experiències de desviació de la vertical causada per muntanyes o en les mesures de les diferències de gravetat entre la part superior i inferior d'una mina. Michell va construir una balança de torsió per mesurar directament la força d'atracció F que actua entre dues esferes de masses m₁ i m₂ situades a una distància d entre els seus centres de massa, i que segons la llei de gravitació de Newton seria:

$F\ =\ G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{d^{2}}}$

Mitjançant el mesurament de F, m₁ i m₂, s'obté el valor de G. El dispositiu de Michell consisteix en una barra horitzontal AB, amb centre C i una longitud de 6 peus, suspès d'un punt fix O amb un filferro en posició vertical amb una longitud OC de 40 polzades (102 cm). Les esferes de plom tenen 2 polzades de diàmetre, la massa m₁ val (4π/3) (2 x 2,54/2)³ x 11,34 ≅ 778,4 grams, suspeses en A i B mitjançant de dos filferros curts. Aquest equip es troba en un armari de fusta estrets. A l'exterior però pròximes a aquest dispositiu, Michell havia col·locat dos grans boles de plom de 8 polzades de diàmetre, cadascuna amb una massa aproximada de 50 kg (exactament 49,8176 kg). Aquestes dues masses grans m₂ es col·loquen a banda i banda del pla OAB, prop de les dues masses petites m₁, de manera que cada parell de masses (m₁, m₂) s'atreuen amb una força F = G m₁ m₂/d² que actuen en una direcció horitzontal perpendicular al pla OAB. El fil OC es torça, per l'acció d'aquest parell de forces, un angle horitzontal θ que es pot mesurar utilitzant, per exemple, un sistema òptic. Sigui k la constant torsional del fil OC. En l'equilibri es tindrà, k θ = 2 G M₁ m₂/d², d'on es pot aclarir G = k θ d²/(2m₁ m₂), sempre que puguem mesurar la constant de torsió del filferro. Per a això, s'avalua el moment d'inèrcia I₁ de la barra amb les esferes petites m₁ AB m₁, en relació a l'eix OC, i en una experiència auxiliar es mesura el període d'oscil·lació de la barra amb les esferitas voltant de OC quan el sistema de grans boles de massa m₂ es retira. Si T₁ fos aquest període, es pot calcular k = 4π ² I₁ /T₁² . Per tant, es quantifica el valor de la constant G a partir de quantitats mesurables M₁ , M₂, L, d, θ, I₁ i T₁.

John Michell va morir el 1793 abans de poder usar el seu dispositiu per mesurar G. Aquest va passar primer a William Hyde Wollaston, qui no va fer res, però hi va donar poc després a Henry Cavendish (1731-1810). Aquest va fer algunes millores, mantenint bàsicament la configuració dissenyada per Michell. Va aïllar l'equip dels corrents d'aire que podien pertorbar els mesuraments, i va afegir un telescopi per observar les desviacions. La seva determinació del valor de G es va publicar el 1798. Mitjana dels resultats de 29 conjunts de mesuraments corregides d'efectes diversos (i eliminant un error aritmètic detectat posteriorment per Francis Baily), va obtenir un valor de G que serviria per arribar a un nou valor de la densitat mitjana de la Terra ρ = 5,448 ± 0,033 g/cm³ .

Experiències similars a la de Cavendish

Moltes altres mesures de G seguir a les realitzades per Cavendish:

• Ferdinand Reich va fer altres determinacions de G amb un dispositiu molt similar a l'usat per Cavendish que van conduir a Nous valors de la densitat mitjana de la Terra, ρ = 5,49 g/cm³ el 1837 i ρ = 5,58 g/cm³ el 1852.

• Francis Bailey va obtenir el 1842 el valor de ρ = 5,67 g/cm³.

• Marie Alfred Cornu i Jean-Baptistin Baille van trobar el 1873 valors de ρ que oscil·len entre 5,50 i 5,56 g/cm³.

• Philipp von Jolly va utilitzar una balança d'alta precisió i va mesurar diferències de pesos entre la part superior i inferior d'una torre de 21 metres d'altura, obtenint el 1881 el valor de ρ = 5,69 g/cm³. Just un segle després de Cavendish el 1898, Franz Richarz (1860-1920) i Otto Krigar-Menzel (1861-1930) van obtenir, igual que von Jolly, el valor de ρ = 5,505 g/cm³.

• El 1892, John Henry Poynting també va utilitzar una balança (ordinària) molt sensible i precisa, amb unes masses m₁ en cada platet i una altra massa m₂ col·locada alternativament sota d'un plat, i després l'altre, de manera que l'alineació entre les masses m₁ i m₂ era perfectament vertical tant en un cas com en l'altre. El valor que va obtenir va ser ρ = 5,49 g/cm³.

• El 1895, Charles Vernon Boys va canviar l'instrument original de Michell i Cavendish, substituint el fil de torsió OC, originalment de ferro, per un fil de quars. Aquesta innovació li va permetre emprar masses (d'or) més baixes i reduir certs efectes exteriors de l'experiència, però pertorbant. Per exemple, el canvi en el pendent del sòl quan es mouen les masses era una pertorbació difícil quantificar amb exactitud. Els seus mesuraments amb l'instrument millorat van donar el valor ρ = 5,527 g/cm³.

• El 1896, Karl Ferdinand Braun i Eötvös Loránd (Roland von Eötvös) van trobar un resultat similar al de Boys. Van utilitzar també una balança de torsió, però dissenyada pel mateix Eötvös. A més del seu ús per mesurar G, les balances de Eötvös van trobar immediatament aplicacions pràctiques (i lucratives) en prospecció gravimètrica, que encara estava en els seus inicis. Van romandre operatives durant diverses dècades, fins que altres gravímetres de maneig més fàcil les van reemplaçar. A causa de la seva extrema sensibilitat, les balanzass de Eötvös no han perdut el seu interès, ni en física, ni en geodèsia. En particular, han permès verificar amb gran precisió, l'ordre de 10^-9, l'equivalència de la massa gravitatòria i la massa inerta. Aquesta equivalència és una de les hipòtesis en què Albert Einstein va fundar la teoria de la relativitat general.

• Els valors de G que actualment són considerats entre els millors van ser subministrats el 1930 per l'experiència de Paul Renno Heyl (ρ = 5,517 g/cm³) i el 1942 per P. R. Heyl i Peter Chrzanowski (ρ = 5,514 g/cm³).

• Josef Zahradnicek va obtenir el 1933 el valor ρ = 5,528 g/cm³ que sembla una mica menys precís.

• Amb ajuda de criteris estadístics aplicats a un conjunt de 25 determinacions de G efectuades per Boys i per Heyl, Harold Jeffreys va deduir el valor G = (6,670 ± 0,004) x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2 . Aquest valor ha servit de referència en física i, sobretot, en geodèsia i en geofísica durant la major part de la segona meitat del segle XX. Amb GM = 3,986 x 10¹⁴ m³ s^-2, el valor de G indicat per Jeffreys va conduir a una massa de la Terra total M = 5,977 x 10²⁴ kg i a una densitat mitjana ρ = 5,517 g/cm³.

• Experiències més recents han canviat lleugerament el valor de G acceptat actualment (a saber G = 6,672 (59 ± 84) x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2, que condueix a la massa de la Terra esmentada al començament d'aquest article,M = 5,9736 x 10²⁴ kg), però convé assenyalar que noves experiències, algunes d'elles fundades en mètodes diferents dels utilitzats fins a l'actualitat, estan en curs o en projecte en diversos laboratoris del món. La incertesa de la massa M de la Terra, i de qualsevol altra massa còsmica, és proporcional a la incertesa que té el valor de G. Actualment, es coneix el producte G · M amb una precisió molt gran gràcies als satèl·lits artificials ia la geodèsia espacial, però els valors de G, i per tant de M, no són coneguts més que amb una precisió relativa de l'ordre de 10^-4 a 10^-5.

Vegeu també

• Ordres de magnitud (massa)
• Abundància d'elements en l'escorça de la Terra
• Planeta terrestre
• Experiment de Cavendish