Usuari:Mcapdevila/Transformació de Möbius
 | Aquest article tenia importants deficiències de traducció i ha estat traslladat a l'espai d'usuari. Podeu millorar-lo i traslladar-lo altra vegada a l'espai principal quan s'hagin resolt aquestes mancances. Col·laboreu-hi! |
|
|
Aquest article o secció necessita millorar una traducció deficient. |
 |
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
|
Per a altres significats, vegeu «transformada de Möbius». |
En geometria, una transformació de Möbius és una funció de la forma:
d'una variable complexa z, i en què els coeficients a, b, c i d són nombres complexos que verifiquen que ad - bc ≠ 0.
Una transformació de Möbius pot veure's en el pla complex com la composició d'una projecció estereogràfica del pla sobre l'esfera, seguida d'una rotació o desplaçament de l'esfera a una nova localització i, finalment, a una projecció estereogràfica, aquesta vegada de l'esfera al pla.
Com veurem més avall, serà més natural considerar directament les transformacions de Möbius com transformacions de l'esfera de Riemann (i del plànol complex augmentat amb un punt en l'infinit ).
Les transformacions de Möbius reben el nom en honor a August Ferdinand Möbius, encara que també s'anomenen transformacions especials conformes, transformacions racionals lineals o transformacions homogràfiques.
El grup de les transformacions de Möbius
[modifica]Una transformació de Möbius es pot estendre de manera natural a un biholomorfisme (és a dir, una aplicació conforme i bijectiva) de l'esfera de Riemann. Perquè aquesta transformació quedi definida en tota l'esfera de Riemann, seguirem els convenis següents amb el punt de l'infinit:
- -d/c s'aplicarà en ,
- s'aplicarà en a/c .
El conjunt d'aquestes transformacions definides sobre l'esfera de Riemann forma un grup sota la composició de funcions anomenat grup de Möbius.
Aquest grup, al seu torn, pot dotar-se amb l'estructura de varietat complexa, de manera que la composició i la inversió siguin aplicacions holomorfes. En altres paraules: el grup de Möbius es converteix així en un grup de Lie complex.
Referències
[modifica]- W. Rudin, Anàlisi real i complex , McGraw-Hill, Madrid, 1988, ISBN 84-7615-192-6.
Vegeu també
[modifica]Enllaços externs
[modifica]
- Möbius Transformations Revealed. Vídeo de N. Arnold i J. Rogness, professors de la Universitat de Minnesota, que il·lustra com moviments de l'esfera es tradueixen en transformacions de Möbius. N'hi ha una versió en alta resolució, disponible en arnold/moebius/index.html.