Usuari:Sebas081001/Maximal torus

En la teoria matemàtica de Mentida compacta agrupa una funció especial és jugada per torus subgrups (no per ser confós amb el matemàtic torus), en particular pel màxim torus subgrups.

Un torus en un G de grup de Mentida compacte és un compacte, va connectar, abelian subgrup de Mentida de G (i per tant isomorf a l'estàndard torus Tn). Un màxim torus és un que és màxim entre tals subgrups. Allò és, T és un màxim torus si per qualsevol altre torus T′ contenint T tenim T = T′. Cada torus és contingut en un màxim torus senzillament per consideracions dimensionals. Un noncompact grup de Mentida necessita no tenir qualsevol nontrivial tori (p. ex. Rn).

La dimensió d'un màxim torus en G és cridat la posició de G. La posició és bé-va definir de llavors ençà tot màxim tori resultar per ser conjugate. Per semisimple agrupa la posició és igual al número de nodes en l'associat Dynkin esquema.

 És clarament isomorf al producte de n cercles, així que el grup unitari U(n) té posició n. Un màxim torus en el SU de grup unitari especial(n) ⊂ U(n) és només la intersecció de T i SU(n) quin és un torus de dimensió n − 1.

Un màxim torus en el grup ortogonal especial AIXÍ QUE(2n) és donat pel conjunt de totes les rotacions simultànies en qualsevol elecció fixa de n pairwise avions ortogonals (i.e., dos vector dimensional espais). Això és també un màxim torus en el grup AIXÍ QUE(2n+1) on l'acció fixa la direcció restant. Per això tots dos AIXÍ QUE(2n) i AIXÍ QUE(2n+1) té posició n. Per exemple, en el grup de rotació AIXÍ QUE(3) el màxim tori és donat per rotacions sobre un eix fix.

El symplectic grup Sp(n) té posició n. Un màxim torus és donat pel conjunt de totes les matrius diagonals les entrades de les quals tota mentida en un fix complex subalgebra de H.

Propietats

Deixa G ser un compacte, va connectar grup de Mentida i deixar g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} és l'àlgebra de Mentida de G.${\displaystyle }$

• Un màxim torus en G és un màxim abelian subgrup, però el conversar necessita no aguantar.
• El màxim tori en G és exactament els subgrups de Mentida corresponent al màxim abelian, diagonalment suplent subalgebras de g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} (cf.${\displaystyle }$ Cartan subalgebra)
• Donat un màxim torus T en G, cada G de g ∈ de l'element és conjugate a un element en T.
• Des del conjugate d'un màxim torus és un màxim torus, cada element de mentides de G dins algun màxim torus.
• Tot màxim tori en G és conjugate. Per això, el màxim tori formar un sol conjugacy classe entre els subgrups de G.
• Segueix que les dimensions de tot màxim tori és igual. Aquesta dimensió és la posició de G.
• Si G té dimensió n i posició r llavors n − r és fins i tot.

Weyl Grup

Do${\displaystyle }$at un torus T (no ne${\displaystyle }$essàriament màxim), el Weyl grup de ${\displaystyle }$ amb respec${\displaystyle }$ar a T pot ser definit com el normalizer de T modulo el centralizer de T. Allò és, W ( T , ${\displaystyle }$ )

=

N

G

( T ) / C G ( T ) . {\displaystyle W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).} Fixar un màxim torus

${\displaystyle }$ = T

${\displaystyle }$

{\displaystyle T=T_{0}} en G; llavors el corresponent Weyl el grup és cridat el Weyl grup de G (depén fins a isomorfisme en l'elecció de T).${\displaystyle }$${\displaystyle }$ La teoria de representació de G és essencialment determinat per T i W.

• El Weyl actes de grup per (exterior) automorfismes en T (i la seva àlgebra de Mentida).
• El centralizer de T en G és igual a T, així que el Weyl el grup és igual a N(T)/T.
• El component d'identitat del normalizer de T és també igual a T. El Weyl el grup és per això igual al grup de component de N(T).
• El normalizer de T és tancat, així que el Weyl el grup és finit
• Dos elements en T és conjugate si i només si són conjugate per un element de W. Allò és, el conjugacy les classes de G encreuen T en un Weyl òrbita. De fet, l'espai de conjugacy les classes en G és homeomorphic a l'espai d'òrbita T/W
• Si f és una funció contínua en invariant de G sota conjugació, el Weyl controls de fórmula de la integració:

∫ G f (

           ${\displaystyle }$             )             d
           ${\displaystyle }$             =               |
           
           ${\displaystyle }$            
             
               ${\displaystyle }$              
             
               ${\displaystyle }$
               ${\displaystyle }$                          
           
             ${\displaystyle }$                                T              
           
           ${\displaystyle }$             (
           ${\displaystyle }$             )
           
             ${\displaystyle }$
           
           ${\displaystyle }$             (
           ${\displaystyle }$             )            
             
               ${\displaystyle }$              
             
               ${\displaystyle }$                          
           
           ${\displaystyle }$
           ${\displaystyle }$             ,     {\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt,}}${\displaystyle }$
 

Veu també

• Cartan Subgrup
• Toral Àlgebra de mentida
• Bruhat Descomposició
• Weyl Fórmula de caràcter

Referències

• Adams, J. F. (1969), Adams, J. F. (1969), Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, ISBN 0226005305, Universitat de Premsa de Chicago,   
• Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Mentida (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X  
• Dieudonné, J. (1977), grups de Mentida Compacta i semisimple grups de Mentida, XXI de Capítol, Treatise damunt anàlisi, Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI, vol. 5, Treatise on analysis, Academic Press, ISBN 012215505X, Premsa Acadèmica,   
• Duistermaat, J.J.; Kolk, Un. (2000), Duistermaat, J.J. & Kolk, A. (2000), Lie groups, Universitext, Springer, ISBN 3540152938, Universitext, Salmer,   
• Sala, Brian C. (2015), Grups de Mentida, Àlgebres de Mentida, i Representacions: Una Introducció Elemental, Textos de Llicenciat en Matemàtiques, Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, vol. 222 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer (.),  
• Helgason, Sigurdur (1978), geometria Diferencial, grups de Mentida, i symmetric espais, Premsa Acadèmica, Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0821828487  
• Hochschild, G. (1965), Hochschild, G. (1965), The structure of Lie groups, Holden-Day, Holden-Dia 

Categoria:Grups de Lie