Usuari:Wdove456/proves

La relativitat Galileana declara que les lleis de la física són iguals en tots els sistemes de referència inercials. Aquesta idea va ser originalment presentada per Galileo Galilei en el seu llibre Dialogo Sopra i Due Massimi Sistemi del Mondo (1632).

Per explicar la seva teoria, va imaginar un vaixell que viatjava a una velocitat constant i en un mar tranquil. Si fem experiments mecànics dins del vaixell—com ara fer oscil·lar un pèndol—, a partir dels resultats que obtinguem, no podrem saber si ens estem movent o no. És a dir, dos observadors movent-se a una velocitat i direcció constants respecte l' altre obtindran els mateixos resultats en tots els experiments mecànics.

Context: Mecànica Clàssica

Article Principal: Mecànica Clàssica

Per començar, explicarem alguns conceptes claus de Mecànica Clàssica per facilitar la comprensió del tema que tractarem.

Partícula: Cos que, al descriure'l, només ens és rellevant la seva posició; altres propietats com ara la massa, temperatura o estructura interna ens són irrellevants. En aquest article, quan parlem de partícula ens podem referir a qualsevol tipus d' objecte físic com ara un cotxe, animal, electró o planeta.^[1]

La Mecànica Clàssica estudia el moviment i les seves propietats—posició, temps, velocitat, acceleració—de les partícules. Per fer-ho, es molt important establir un sistema de referència — prespectiva des d' on es mesuren diferents magnituds del moviment d' una partícula. Un sistema de referència està format per dos elements:

Eixos Cartesians: Ens ajuden a determinar la posició d' una partícula.
Rellotge: Mesura el temps

Els sistemes de referència son molt importants, ja que condicionen el moviment d' un cos. Per exemple, imaginem que un home camina davant d' un cotxe. Si triem la persona com a sistema de referència, el cotxe s' estarà movent i la persona estarà en repòs. En canvi, si triem el cotxe, aquest estarà en repòs i serà l' individu qui es mourà.

Distingim dos tipus de sistema de referència:

Sistema de referència inercial: Sistema de referència que no està accelerant.

Sistema de referència no inercial: Sistema de referència que està accelerant.

Postulacions de la Relativitat Galileana

Les lleis de la física són iguals en tots els sistemes de referència inercials.
El temps és universal.
L’ espai és absolut.
Les dimensions d’ un cos i les distàncies entre qualsevol parella de punts són universals.
Per transportar una acció o vector d’ un sistema de referència a un altre, utilitzem una transformació Galileana.

Transformacions Galileanes

Article principal: Transformació de Galileu

Definició: Acció matemàtica utilitzada per transformar una acció o partícula desde un sistema de referència inercial cap a un altre ^[2].

Fórmules de les transformacions Galileanes per a la posició

Per entendre millor la definició de transformació Galileana presentada anteriorment, posarem un exemple. Imaginem que hi ha una persona en repòs situada en una carretera. Per a aquest experiment, definirem dos sistemes de referència: el sistema de referència R serà la carretera i R’ la persona.

A t = 0, com ja hem dit, la persona no s’ està movent. En aquest moment, els dos sistemes de referència estàn exactament al mateix lloc, és a dir, estàn superimposats.

Passen uns quants segons i a t2 la persona comença a caminar cap a la dreta. Per tant el sistema de referència R es queda intacte—amb respecte a R’—, però R’ es mou horizontalement cap a la dreta.

A t3, treu el seu mòbil. Aquesta acció la representem a R’ amb el punt (x2, y2, z2). La tasca d’ una transformació Galileana és representar la mateixa acció, però en l’ altre sistema de referència R.

Com ho farem? Utilitzarem unes quantes fórmules. Primer de tot, hem de tenir en compte que quan R’ s’ ha mogut amb respecte a R, s'ha mogut horizontalement, i per això l’ únic eix que canviarà de posició és l’ x. Els altres eixos no variaran i per tant podem escriure que:

$y=y'$

$z=z'$

També sabem que el temps és absolut:

$t=t'$

Després, la fórmula per transportar la posició de l’ acció o partícula en l’ eix x a un altre sistema de referència és ^[3]:

$x=vt'+x'$

On $v$ és la velocitat de R’ relativament a R.

Formules de les transformacions Galileanes per a la velocitat

En la secció anterior hem vist com podem transportar la posició d' una acció o partícula. Ara veurem com fer una transformació Galileana si aquesta partícula s' està movent. Tenim dos sistemes de referència: S i S'. A t = 0 ambdòs sistemes de referència estàn al mateix lloc. Però a t = 3, amb respecte a S, S' comença a moure's cap a a la dreta amb velocitat v. Hi ha una partícula P que es mou amb una velocitat w' amb respecte a S'. El vector w' tindrà tres components—x, y i z. Podem calcular el mòdul, en aquest cas velocitats, del vector w' :

$w'_{x}={\frac {dx'}{dt}}$

$w'_{y}={dy' \over dt}$

$w'_{z}={\frac {dz'}{dt}}$

A partir de les fórmules per calcular la velocitat en els tres components que té el nostre vector i les equacions que vam presentar a la secció 3.1, podem deduïr com transformar el vector w' del sistema de referència S al sistema de referència S' creant un nou vector w. Escriurem les fórmules per calcular el mòdul per calcular el mòdul de cada component d' aquest nou vector:

$w_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {d(x'+vt)}{dt}}={\frac {dx'}{dt}}+{\frac {d(vt)}{dt}}={\frac {dx'}{dt}}+{\frac {dx}{dt}}={\frac {dx'}{dt}}+v=w'_{x}+v$

$w_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {dy'}{dt}}=w'_{y}$

$w_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{dt}}=w'_{z}$

Relativitat Galileana i el teorema del treball i l' energia cinètica

El treball és el producte entre la força neta aplicada a un cos i la distància que recorre:

$W=Fd$

On $W$ és el treball, $F$ la força neta i $d$ la distància.

D' altre banda, l' Energia Cinètica és la energia que té un cos pel sol fet de estar movent-se:

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$

On $K$ és l' Energia Cinètica, $m$ és la massa i $v$ és la velocitat.

El teorema del Treball i l' Energia Cinètica unifica aquests dos conceptes:

$W=K_{f}+K_{i}$

On $K_{f}$ és l' Energia Cinètica final i $K_{i}$ l' Energia Cinètica inicial. En aquest apartat, aplicarem aquest teorema a la Relativitat Galileana.

Imaginem que tenim dos sistemes de referència: S i S'. Amb respecte a S, S' es mou amb una velocitat constant v de 6m/s, cap a la dreta. Hi ha un cos, que anomenarem P, de massa 1kg que a t = 0 es mou amb S'. Després, comença a moure's horizontalment amb una velocitat de 14m/s amb respecte a S'. A la velocitat de P, respecte S', l' anomenarem u'.

Quin és el treball que fa P? Per respondre aquesta pregunta, aplicarem el teorema del Treball i l' Energia Cinètica:

$W'={\frac {1}{2}}mu_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mu_{i}^{2}$

$W'=98J$

On $W'$ es el treball qe fa P respecte S'.

Ara, esbrinarem a a quina velocitat P es mou respecte S. A aquesta velocitat l' anomenarem u. Sabem que $u_{i}$ és 6m/s, ja que P s’ estava movent amb S’ desde relativament a S.

Sabem que P, respecte a S’, en un moment donat, comença a moure’ s a 14 m/s. Per saber quina era la velocitat de P en aquell moment respecte a S, hem de fer una transofrmació Galileana. Aplicarem una de les fórmules que vàrem veure a la secció 3.2:

$ux_{f}=u'x_{f}+v$

On ufx és la velocitat final de P respecte a S, u’fx la velocitat final de P respecte S’ i v la velocitat de S’ respecte S. Posem els valors dins de la fórmula:

$ux_{f}=20m/s$

Resumint, respecte S, la velocitat inicial de P és de 6 m/s i la velocitat final és de 20 m/s. Ara, amb aquestes dades calcularem el treball que ha fet P respecte S:

$W=K_{f}-K_{i}={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot u_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot m\cdot u_{f}^{2}$

$W=182J$

Per tant, arribem a la conclusió que el treball que un cos ha realitzat també depèn del sistema de referència que triem, ja que el Treball és una magnitud que depén del moviment del cos.

Si tenim dos sistemes de referència, S i S’, la fórmula per transformar el treball fet per un cos de S’ a S és ^[4] :

$W=W'+mu(v_{f}-v_{i})$

On:

$W$ és el treball fet per el cos respecte S.
$W'$ és el treball que ha fet el mateix cos relativament a S’ .
$m$ és la massa del cos.
$u$ és la velocitat de S’ de referència relativament S.
$v_{f}$ és la velocitat final del cos respecte S.
$v_{i}$ és la velocitat inicial del cos respecte S

Comparació amb la Teoria de la Relativitat Especial

James Clerk Maxwell, a mitjans de segle XIX, va publicar la seva teoria d’ electromagnetisme. Una de les seves formulacions més importants era que la velocitat de la llum era la mateixa en tots els sistemes de referència. Es tractava clarament d’ una contradicció a la relativitat Galieana.

L’ any 1905, Albert Einstein va publicar el principi de la relativitat especial, que resolia aquesta contradicció. Òbviament, les dues teories tenen moltes diferències. Les més importants s’ il·lustren en aquesta taula:

Criteri	Teoria de Galileu	Teoria d' Einstein
Temps	Universal, el mateix per a tots els sistemes de referència.	Depén del sistema de referència que triem
Espai	Absolut	No és universal.
Velocitat de la llum	Depén del sistema de referència.	299 792 458 m/s.
Mètode de transformació	Transformació Galileana	Transformació de Lorentz.

Referències

↑ «Dynamics and Relativity» (en anglès). Cambridge University, 2013. [Consulta: 25 setembre 2017].
↑ «MIT OCW Course 8.03, 2006. Max Tegmark. Symmetry & Invariance» (en anglès). MIT, 2006. [Consulta: 17 setembre 2027].
↑ Hazewinkel, Michiel. Encyclopeadia of Mathematics. Volume 4 (en anglès), 1989.
↑ «Galilean Relativity and the Work-Kinetic Energy Theorem.» (en anglès). Research Gate, 2007. [Consulta: 26 setembre 2017].

Enllaços externs

Scholarpedia. http://www.scholarpedia.org/article/Special_relativity:_kinematics#Galilean_and_Lorentz_transformations

University of Oxford. Departement of Physics. https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel_intro.pdf

[1] «Dynamics and Relativity» (en anglès). Cambridge University, 2013. [Consulta: 25 setembre 2017].

[2] «MIT OCW Course 8.03, 2006. Max Tegmark. Symmetry & Invariance» (en anglès). MIT, 2006. [Consulta: 17 setembre 2027].

[3] Hazewinkel, Michiel. Encyclopeadia of Mathematics. Volume 4 (en anglès), 1989.

[4] «Galilean Relativity and the Work-Kinetic Energy Theorem.» (en anglès). Research Gate, 2007. [Consulta: 26 setembre 2017].

[1]

[2]

[3]

[4]