Wronskià

En matemàtiques, el Wronskià és una funció que deu el nom al matemàtic polonès Józef Hoene-Wroński, especialment important en l'estudi d'equacions diferencials.

Donat un conjunt de n funcions f₁, ..., f_n, el Wronskià W(f₁, ..., f_n) es defineix com a:

$W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}$

Això és, el determinant de la matriu construïda col·locant les funcions a la primera fila, la primera derivada de cada funció a la segona fila, i així fins a la derivada n-1, formant així una matriu quadrada.

En una equació diferencial lineal de segon ordre, es pot calcular el Wronksià més fàcilment mitjançant la identitat Abeliana.

Va ser introduït l'any 1812 pel matemàtic polonès Józef Hoene-Wroński (1776-1853) i va ser anomenat per primer cop l'any 1882, pel matemàtic escocès Thomas Muir (1844 – 1934).

El Wronskià i la independència lineal

El Wronksià es pot fer servir per determinar si un conjunt de funcions derivables és linealment independent en un cert interval:

• Si el Wronskià és diferent de zero en algun punt de l'interval, llavors les funcions associades són linealment independents en aquest interval.

Això és útil en diverses situacions. Per exemple, si es vol verificar que dues solucions d'una equació diferencial ordinària són linealment independents, es pot fer servir el Wronskià. Cal tenir en compte que si el Wronskià és zero uniformament al llarg de l'interval, les funciones poden o no ser linealment dependents. Sovint es creu que $W=0$ arreu implica dependència lineal, i no és el cas, com es pot veure en el tercer exemple. En comptes d'això:

• Si un conjunt de funcions és linealment dependent en un interval, llavors el Wronskià corresponent és zero en aquest interval.

Exemples

• Donades les funcions $x^{2},$ $x,$ i $1,$ definides per x un nombre real. El Wronskià serà:

$W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.$

Es pot observar que $W$ no és uniformament zero, per tant aquestes funcions són linealment independents.

• Donades les funcions $2x^{2}+3$, $x^{2}$, i $1$. Aquestes funcions són clarament dependents, ja que $2x^{2}+3=2(x^{2})+3(1).$ Així, el Wronskià serà zero, com es veu seguidament:

$W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.$

• Tal com s'ha dit anteriorment, si el Wronskià és zero, no implica en general que les funcions involucrades siguin linealment dependents. Donades les funcions $x^{3}$ i $|x^{3}|$; això és, el valor absolut de $x^{3}$. La segona funció es pot escriure com a:

$|x^{3}|=\left\{{\begin{matrix}-x^{3},&\mathrm {si} \;x<0\\x^{3},&\mathrm {si} \;x\geq 0\end{matrix}}\right.$

Es pot comprovar que aquestes funcions són linealment independents en un interval dels reals; tanmateix, el seu Wronskià és zero:

$W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,&\mathrm {si} \;x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,&\mathrm {si} \;x\geq 0\end{matrix}}\right.$