Vés al contingut

Àlgebra de Lie simple

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En àlgebra, una àlgebra de Lie simple és una àlgebra de Lie que no és abeliana i no conté ideals propis diferents de zero. La classificació d'àlgebres de Lie simples reals és un dels principals assoliments de Wilhelm Killing i Élie Cartan.[1]

Una suma directa d'àlgebres de Lie simples s'anomena àlgebra de Lie semisimple.[2]

Un grup de Lie simple és un grup de Lie connectat l'àlgebra de Lie del qual és simple.

Àlgebres de Lie simples complexes

[modifica]

Una àlgebra de Lie complexa simple de dimensions finites és isomòrfica a qualsevol dels següents: , , (àlgebres clàssiques de Lie) o una de les cinc àlgebres de Lie excepcionals. Dynkin diagrams A cada complex de dimensions finites semisimple àlgebra de Lie , existeix un diagrama corresponent (anomenat diagrama de Dynkin ) on els nodes denoten les arrels simples, els nodes estan units (o no s'uneixen) per un nombre de línies depenent dels angles entre les arrels simples i les fletxes es posen per indicar si les arrels són més llargues o més curtes. El diagrama de Dynkin de està connectat si i només si és senzill. Tots els possibles diagrames de Dynkin connectats són els següents:

on n és el nombre de nodes (les arrels simples). La correspondència dels diagrames i àlgebres simples complexes de Lie és la següent:

(An)
(Bn)
(Cn)
(Dn)
La resta, àlgebres de Lie excepcionals.[3]

Àlgebres de Lie reals simples

[modifica]

Si és una àlgebra de Lie simple real de dimensions finites, la seva complexació és (1) simple o (2) un producte d'una àlgebra de Lie complexa simple i el seu conjugat. Per exemple, la complexitat de pensat com una autèntica àlgebra de Lie . Així, una àlgebra de Lie simple real es pot classificar mitjançant la classificació d'àlgebres de Lie simples complexes i alguna informació addicional. Això es pot fer mitjançant diagrames Satake que generalitzen els diagrames de Dynkin. Vegeu també Taula de grups de Lie # àlgebres de Lie reals per obtenir una llista parcial d'àlgebres de Lie simples reals.[4]

Referències

[modifica]
  1. «[https://sites.math.washington.edu/~julia/notes/Lie_Algebras_UW2023.pdf Math 508 – Lie Algebras (lecture notes)]» (en anglès). [Consulta: 14 agost 2024].
  2. «THE CLASSIFICATION OF SIMPLE COMPLEX LIE ALGEBRAS» (en anglès). [Consulta: 14 agost 2024].
  3. Weisstein, Eric W. «Simple Lie Algebra» (en anglès). [Consulta: 14 agost 2024].
  4. «[https://www.math.columbia.edu/~jmorgan/LieGpLectureVI.pdf Lie Groups: Fall, 2022 Lecture VI Simple Lie Algebras and of Compact Lie Groups]» (en anglès). [Consulta: 14 agost 2024].