Àlgebra de Lie simple
En àlgebra, una àlgebra de Lie simple és una àlgebra de Lie que no és abeliana i no conté ideals propis diferents de zero. La classificació d'àlgebres de Lie simples reals és un dels principals assoliments de Wilhelm Killing i Élie Cartan.[1]
Una suma directa d'àlgebres de Lie simples s'anomena àlgebra de Lie semisimple.[2]
Un grup de Lie simple és un grup de Lie connectat l'àlgebra de Lie del qual és simple.
Àlgebres de Lie simples complexes
[modifica]Una àlgebra de Lie complexa simple de dimensions finites és isomòrfica a qualsevol dels següents: , , (àlgebres clàssiques de Lie) o una de les cinc àlgebres de Lie excepcionals. A cada complex de dimensions finites semisimple àlgebra de Lie , existeix un diagrama corresponent (anomenat diagrama de Dynkin ) on els nodes denoten les arrels simples, els nodes estan units (o no s'uneixen) per un nombre de línies depenent dels angles entre les arrels simples i les fletxes es posen per indicar si les arrels són més llargues o més curtes. El diagrama de Dynkin de està connectat si i només si és senzill. Tots els possibles diagrames de Dynkin connectats són els següents:
on n és el nombre de nodes (les arrels simples). La correspondència dels diagrames i àlgebres simples complexes de Lie és la següent:
- (An)
- (Bn)
- (Cn)
- (Dn)
- La resta, àlgebres de Lie excepcionals.[3]
Àlgebres de Lie reals simples
[modifica]Si és una àlgebra de Lie simple real de dimensions finites, la seva complexació és (1) simple o (2) un producte d'una àlgebra de Lie complexa simple i el seu conjugat. Per exemple, la complexitat de pensat com una autèntica àlgebra de Lie . Així, una àlgebra de Lie simple real es pot classificar mitjançant la classificació d'àlgebres de Lie simples complexes i alguna informació addicional. Això es pot fer mitjançant diagrames Satake que generalitzen els diagrames de Dynkin. Vegeu també Taula de grups de Lie # àlgebres de Lie reals per obtenir una llista parcial d'àlgebres de Lie simples reals.[4]
Referències
[modifica]- ↑ «[https://sites.math.washington.edu/~julia/notes/Lie_Algebras_UW2023.pdf Math 508 – Lie Algebras (lecture notes)]» (en anglès). [Consulta: 14 agost 2024].
- ↑ «THE CLASSIFICATION OF SIMPLE COMPLEX LIE ALGEBRAS» (en anglès). [Consulta: 14 agost 2024].
- ↑ Weisstein, Eric W. «Simple Lie Algebra» (en anglès). [Consulta: 14 agost 2024].
- ↑ «[https://www.math.columbia.edu/~jmorgan/LieGpLectureVI.pdf Lie Groups: Fall, 2022 Lecture VI Simple Lie Algebras and of Compact Lie Groups]» (en anglès). [Consulta: 14 agost 2024].