Àlgebres CCR i CAR

En matemàtiques i física, les àlgebres CCR (que significa relacions canòniques de commutació) i les àlgebres CAR (relacions canòniques d'anticomutació) sorgeixen de l'estudi de la mecànica quàntica dels bosons i fermions, respectivament. Tenen un paper destacat en la mecànica estadística quàntica i la teoria quàntica de camps.

CCR i CAR com *-àlgebres

Deixar $V$ ser un espai vectorial real equipat amb una forma bilineal antisimètrica real no singular $(\cdot ,\cdot )$ (és a dir, un espai vectorial simplèctic). L' àlgebra * unital generada per elements de $V$ subjectes a les relacions

$fg-gf=i(f,g)\,$

$f^{*}=f,\,$

per ningu $f,~g$ en $V$ s'anomena àlgebra de relacions de commutació canònica (CCR). La singularitat de les representacions d'aquesta àlgebra quan $V$ La seva dimensió finita es discuteix al teorema de Stone–von Neumann.

Si $V$ està equipat amb una forma bilineal simètrica real no singular $(\cdot ,\cdot )$ en canvi, l'àlgebra * unital generada pels elements de $V$ subjectes a les relacions

$fg+gf=(f,g),\,$

$f^{*}=f,\,$

per ningu $f,~g$ en $V$ s'anomena àlgebra de relacions d'anticomutació canònica (CAR).

L'àlgebra C* de CCR

Hi ha un significat diferent, però estretament relacionat, de l'àlgebra CCR, anomenat CCR C*-àlgebra. Sigui $H$ un espai vectorial simplèctic real amb forma simplèctica no singular $(\cdot ,\cdot )$. En la teoria de les àlgebres d'operadors, l'àlgebra CCR acaba $H$ és l'àlgebra C* unital generada pels elements $\{W(f):~f\in H\}$ agafat a

$W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,$

$W(f)^{*}=W(-f).\,$

Aquestes s'anomenen la forma Weyl de les relacions de commutació canònica i, en particular, impliquen que cadascuna $W(f)$ és unitari i $W(0)=1$. És ben sabut que l'àlgebra CCR és una àlgebra simple (llevat que la forma simplètica sigui degenerada) no separable i és única fins a l'isomorfisme.

Quan $H$ és un espai de Hilbert complex i $(\cdot ,\cdot )$ ve donada per la part imaginària del producte interior, l'àlgebra CCR es representa fidelment a l'espai de Fock simètric sobre $H$ mitjançant la configuració

$W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),$

per qualsevol $f,g\in H$. Els operadors de camp $B(f)$ es defineixen per a cadascun $f\in H$ com a generador del grup unitari d'un paràmetre $(W(tf))_{t\in \mathbb {R} }$ a l'espai simètric de Fock. Aquests són operadors il·limitats autònoms, però formalment compleixen

$B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .$

Com l'encàrrec $f\mapsto B(f)$ és real-lineal, per tant els operadors $B(f)$ definir una àlgebra CCR sobre $(H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )$ en el sentit de la Secció 1.

L'àlgebra C* de CAR

SIgui $H$ espai de Hilbert. En la teoria de les àlgebres d'operadors, l'àlgebra CAR és l'única C*-completació de la complexa *-àlgebra unitària generada pels elements $\{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}$ subjectes a les relacions

$b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,$

$b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,$

$\lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,$

$b(f)^{*}=b^{*}(f),\,$

per qualsevol $f,g\in H$, $\lambda \in \mathbb {C}$. Quan $H$ és separable l'àlgebra CAR és una àlgebra AF i en el cas especial $H$ és de dimensions infinites, sovint s'escriu com ${M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}$.