Caràcter d'un grup finit

En Matemàtiques, un caràcter d'un grup finit és una noció associada a la Teoria de grups.

Un caràcter d'un grup finit G és un morfisme del grup G en C^* el grup dels nombres complexos no nuls.

Aquest concepte permet definir el grup dual de G, compost pel conjunt dels caràcters de G. És a la base de l'anàlisi harmònica sobre els grups finits.

Aquesta noció correspon a un cas particular de caràcter d'una representació d'un grup finit.

Definicions i exemples

Definicions i primeres propietats

A tot l'article, G designa un grup finit d'ordre g, C el cos dels nombres complexos i C^* el conjunt dels nombres complexos no nuls. Excepte menció contrària, el grup es nota multiplicativement i l'invers d'un element s de G es nota s^-1. El conjugat d'un nombre complex z es nota z^*.

• Un caràcter de G és un morfisme del grup G en C^*.

Un caràcter correspon a un cas particular de representació d'un grup finit, aquell on l'espai vectorial de la representació és el dels nombres complexos. En aquest context, un caràcter és també el caràcter d'una representació en el sentit de la traça.

• Un caràcter χ de G pren els seus valors en les arrels g-èsimes de la unitat i verifica la igualtat següent:

$\forall s\in G\quad \chi (s^{-1})=\chi (s)^{*}\;$

En efecte, el toeorema de Lagrange indica que si s és un element de G, llavors s^g = 1, se'n dedueix que la imatge de s per χ és una arrel g-èsima de la unitat i tota arrel g-èsima de la unitat admet per inversa el seu conjugat.

• El conjunt dels caràcters de G s'anomena grup dual de G i generalment es nota $\scriptstyle {\widehat {G}}$.

El dual de G està proveït de manera natural d'una multiplicació, la de les funcions amb valor en C:

• La multiplicació confereix al dual de G una estructura de Grup abelià finit.

En efecte, el dual de G és no buit, ja que conté almenys l'aplicació que a tot element de G li associa la unitat, aquest caràcter és l'element neutre del grup. La propietat associativa és una propietat general de la multiplicació de les funcions. Si és un caràcter, l'aplicació que a tot element de G associa el conjugat de χ és un caràcter que correspon a l'invers de χ, tot element del dual posseeix per tant un simètric. Finalment el cos dels nombres complexos és commutatiu, el que implica el caràcter abelià del dual de G.

Un caràcter és una aplicació d'un conjunt de sortida finit i la seva imatge, contingut en el grup de les arrels g-èsimes de la unitat també és finit, el que demostra que el dual és un grup finit.

Primers exemples

Es considera el cas on G és el Grup simètric d'índex n. L'aplicació signatura és un caràcter amb valor en {-1, 1}.

Si G és igual a Z/2.Z on Z designa el conjunt dels naturals, llavors existeixen dos caràcters, el que a la classe d'1 associa 1 i el que associa -1.

Si G és igual a Z/3.Z , llavors existeixen tres caràcters, definit pels tres valors que poden prendre la imatge de la classe d'1 : 1, j o j^*. Aquí j designa l'arrel cúbica de la unitat que té una part imaginària positiva.

Cas commutatiu

En el cas en què G és commutatiu, el grup dual posseeix una propietat interessant, és isomorf amb G, el que permet simplement construir una anàlisi harmònica sobre G.

Grup cíclic

Article principal: Grup cíclic

En aquest pararagraphe el grup cíclic d'ordre g es nota C_g i designa una arrel primitiva g-èsima de la unitat, és a dir un generador del grup de les arrels g-èsimes de la unitat. El símbol 1_C designa aquí un generador del grup C_g i si s és un enter compres entre 0 i g - 1, llavors s_C designa el valor s.1_C.

Un cas simple d'anàlisi del grup dual correspon al grup cíclic, es descriu per les proposicions següents:

• Per a tot caràcter χ de C_g, existeix un enter i comprès entre 1 i g - 1 tal que la igualtat següent es verifica:

$\forall s_{C}\in C_{g}\quad \chi (s_{C})=\omega ^{i.s}\;$

• Recíprocament, si i és un enter comprès entre 1 i g - 1 i si _i és l'aplicació definida per la igualtat següent, llavors χ_i és un caràcter de C_g.

$\forall s_{C}\in C_{g}\quad \chi _{i}(s_{C})=\omega ^{i.s}\;$

• Si i és un enter comprès entre 1 i g - 1, llavors l'aplicació de C_g en el seu dual, que a i_C associa χ_i és un isomorfisme de grup.

Demostracions

.

• Per a tot caràcter χ de C_g, existeix un enter i comprès entre 1 i g - 1 tal que la igualtat següent es verifica:

$\forall s_{C}\in C_{g}\quad \chi (s_{C})=\omega ^{i.s}\;$

χ(1_C) és una arrel de la unitat i ω és una arrel primitiva, existeix per tant un enter i comprès entre 1 i g - 1 tal que χ(1_C) és igual a ωⁱ. Les propietats de morfisme de χ mostren la igualtat següent, el que permet concloure:

$\forall segon\in [0,g-1]\quad \chi (s_{C})=\chi (s.1_{C})=\chi (1_{C})^{s}=\omega ^{i.s}\;$

• Si i és un enter comprès entre 1 i g - 1 i si χ_i és l'aplicació definida per la igualtat següent, llavors χ_i és un caràcter de C_g.

$\forall s_{C}\in C_{g}\quad \chi _{i}(s_{C})=\omega ^{i.s}\;$

N'hi ha prou amb verificar que χ_i és un morfisme de grup. Aquesta propietat es desprèn de les igualtats següents:

$\forall s_{C},t_{C}\in C_{g}\quad \chi _{i}(s_{C}.t_{C})=\chi _{i}(st.1_{C})=\omega ^{i.st}=\chi _{i}(s_{C}).\chi _{i}(t_{C})\;$

• Si i és un enter comprès entre 1 i g - 1, llavors l'aplicació φ de C_g en el seu dual, que a i_C associa χ_i és un isomorfisme de grup.

Verificació de que l'aplicació és un morfisme:

$\forall i,j\in [0,g-1]\quad \forall s_{C}\in C_{g}\quad \varphi (i_{C}+j_{C})(s_{C})=\chi _{i_{C}+j_{C}}(s_{C})=\omega ^{(i+j)s}=\omega ^{is}.\omega ^{js}=\chi _{i}(s_{C}).\chi _{j}(s_{C})=\varphi (i_{C})(s_{C}).\varphi (j_{C})(s_{C})\;$ El nucli de φ es resueix a l'element neutre, l'aplicació és, per tant, injectiva. Oimés les dues proposicions precedents mostren que l'ordre del grup dual és igual a g, el cardinal de C_g, l'aplicació és per tant suprajectiva, el que clou la demostració.

Grup abelià

Article principal: Teorema de Kronecker

Els resultats del paràgraf precedent es generalitzen a tots els grups abelians finits:

• El dual d'un grup abelià finit G és isomorf a G.

Aquest resultat es desprèn del fet que un grup abelià finit és un producte de grups cíclics i de la proposició següent:

• Siguin H i K dos grups abelians, el dual del producte directe de H i de K és isomorf al producte dels duals de H i de K.

Demostracions

.

• Siguin H i K dos grups abelians, el dual del producte directe de H i de K és isomorf al producte dels duals de H i de K.

E nota i_H (resp. i_K) el morfisme canònic de H (resp. K) en HxK. Es considera llavors el morfisme ψ del dual de HxK el producte dels duals definit per:

$\forall \chi \in {\widehat {H\times K}}\quad \psi (\chi )=(\chi \circ i_{H},\chi \circ i_{K})\;$

L'aplicació ψ és un morfisme injectiu, siguin χ_H, χ_K dos elements dels duals de H i de K. S'observa que l'aplicació χ_HxK de HxK en C^* definida per:

$\forall (h,k)\in H\times K\quad \chi _{H\times K}(h,k)=\chi _{H}(h).\chi _{K}(k)\;$

és un caràcter de HxK antecedent de (χ_H, χ_K). L'aplicació ψ és per tant exhaustiva. El que clou la demostració.

• El dual d'un grup abelià finit G és isomorf a G.

El teorema d'estructura dels grups abelians finits (cf l'article associat) mostra que G és isomorf a un producte de grups cíclics. Una recurrència sobre el nombre de cicles i la proposició precedent permet llavors concloure.

Àlgebra del grup

Aquí G designa un grup finit qualsevol, C[G] designa l'àlgebra complexa del grup G i (e_s) la base canònica de l'àlgebra indexada pels elements s de G.

L'àlgebra del grup G, notat aquí C[G] és un espai vectorial de base canònica indexada per G. Un element del grup dual de G es perllonga linealment en un element del dual de C[G] considerat com un espai vectorial. Per tant es pot identificar el grup dual de G com una subclasse de l'espai dual de C[G].

Si C[G] està proveït del producte hermitià canònic < | >, definit per la fórmula següent, llavors el dual de C[G] s'identifica amb l'àlgebra del grup, el grup dual s'identifica per tant amb una subclasse de C[G]:

$\forall x,y\in \mathbb {C} [G]\quad \exists (x_{s})_{s\in G},(y_{t})_{t\in G}\in \mathbb {C} ^{G}\quad <x|y>=<\sum _{s\in G}x_{s}.e_{s}|\sum _{t\in G}y_{t}.e_{t}>={\frac {1}{g}}\sum _{s,t\in G}x_{s}^{*}.y_{s}\;$

• El grup dual de G és una família Ortonormal.

• El grup dual de G és element del centre de l'àlgebra del grup G.

• El grup dual de G és una base de l'àlgebra del grup G si i només si G és un grup abelià.

Aquestes tres proposicions corresponen a casos particulars de la teoria de les representacions d'un grup finit, es demostren simplement en el cas present:

Demostracins

.

• El grup dual de G és una família ortonormal.

Sigui χ un caràcter del grup G, llavors χ^*.χ = χ^-1.χ = 1_C[G] on 1_C[G] designa l'element neutre de l'àlgebra del grup. Se'n dedueix:

$\forall \chi \in {\widehat {G}}\quad <\chi |\chi >={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\chi ^{-1}(s).\chi (s)={\frac {g}{g}}=1$

Si χ₁ i χ₂ són dos caràcters diferents de G. E nota χ el caràcter χ₁^-1.χ₂ llavors:

$\forall t\in G\quad \chi (t)<\chi _{1}|\chi _{2}>={\frac {1}{g}}\chi (t).\sum _{s\in G}\chi _{1}^{-1}(s).\chi _{2}(s)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\chi (st)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\chi (s)=<\chi _{1}|\chi _{2}>$

Si t s'escull de tal manera que χ(t) sigui diferent d'1, llavors se'n dedueix que χ₁ i χ₂ són ortogonals.

• El grup dual de G està inclòs en el centre de l'àlgebra del grup G.

N'hi ha prou per això amb fixar-se que tot caràcter del grup és una funció central i que el conjunt de les funcions centrals és el centre de l'àlgebra.

• El grup dual de G és una base de l'àlgebra del grup G si i només si G és un grup abelià.

El grup dual és una família ortogonal, és per tant lliure. Si el grup G és abelià, el grup dual posseeix el mateix cardinal que el grup G per tant el seu ordre és el de la dimensió de l'àlgebra del grup.

Si el grup G no és abelià la seva àlgebra associada tampoc no ho és, el grup dual engendra un espai vectorial inclòs en el centre de C[G] que no és igual a l'àlgebra sencera.

Bidual

En el cas on el grup G és abelià, i de manera anàloga a l'Àlgebra lineal, existeix un isomorfisme canònic entre G i el seu bidual (és a dir el dual del seu dual).

• L'aplicació φ, definida per la igualtat següent, és un isomorfisme entre G i el seu bidual:

$\forall s\in G\quad \forall \chi \in {\widehat {G}}\quad \varphi (s)(\chi )=\chi (s)\;$

En efecte, l'aplicació és un morfisme injectiu, la igualtat dels cardinals d'un grup abelià i del seu dual demostra l'exhaustivitat i clou la demostració.

Aplicacions

Anàlisi harmònica sobre un grup abelià finit

Article principal: Anàlisi harmònica sobre un grup abelià finit

En el marc d'un grup abelià finit, és possible definir la Transformada de Fourier i la convolució. La teoria de l'anàlisi harmònica és equivalent a la del cos dels reals. Es demostra la igualtat de Parseval, el Teorema de Plancherel, la dualitat de Pontryagin i la fórmula del sumatori de Poisson.

Referències

• Michel Demazure Cours d'algèbre. Primalité, divisibilité, codes Cassini 1997
• Serre, Jean-Pierre. Cours d'arithmétique (en francès). 
• A. Warusfel Structures algébriques finies Hachette 1971
• G. Peyré L'algèbre discrète de la transformée de Fourier Ellipses Marketing 2004

Enllaços externs

• (francès) Dual d'un grup Arxivat 2006-10-11 a Wayback Machine. per G. Peyre
• (francès) Matemàtiques discretes de la transformada de Fourier C. Bachoc Universitat de Bordeaux I