Centre (àlgebra)

La paraula centre s'usa en diversos contexts d'àlgebra abstracta per a denotar el conjunt dels elements que commuten, respecte a una certa operació, amb tots els altres. Sovint es representa amb la lletra Z, de l'alemany Zentrum ("centre"). Més concretament:

• Un magma és un conjunt M dotat d'una operació interna $\star$. El centre d'un magma M és el conjunt Z(M) dels elements de M que commuten amb tots, és a dir, el conjunt dels x$\in$M tals que, per a tot y$\in$M, x$\star$y = y$\star$x. Si el magma és associatiu llavors Z(M) és una part estable per l'operació.
• En particular, el centre d'un grup G està format pels elements x de G tals que xy = yx per a tot y de G. És un subgrup normal commutatiu de G.
• El centre d'un anell A és el subconjunt format pels x de A tals que xa = ax per a tot a de A. És un subanell commutatiu de A, i A és una àlgebra sobre el seu centre. En particular, el centre d'un cos no commutatiu és un sub-cos commutatiu.
• El centre d'una àlgebra associativa A és el conjunt dels elements x de A tals que xa = ax per a tot a de A. És una subàlgebra commutativa de A.
• El centre d'una àlgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ és el conjunt ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$ format pels x de ${\mathfrak {g}}$ tals que [x,y] = 0 per a tot y de ${\mathfrak {g}}$. És un ideal commutatiu de ${\mathfrak {g}}$.

Bibliografia

• Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). Paris: Hermann, 1970. 
• Bourbaki, N. Groupes et algèbres de Lie, Chapitre 1 (en francès). Paris: Hermann, 1971.