Distribució de Dirichlet variada matricial

Distribució de Dirichlet variada matricial

Tipus	distribució matricial

En estadística, la distribució de Dirichlet variada matricial és una generalització de la distribució beta variable de matriu i de la distribució de Dirichlet.

Suposem $U_{1},\ldots ,U_{r}$ són $p\times p$ matrius definides positives amb $I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}$ també positiu-definit, on $I_{p}$ és el $p\times p$ matriu d'identitat. Aleshores diem que el $U_{i}$ tenen una distribució de Dirichlet variable en matriu, $\left(U_{1},\ldots ,U_{r}\right)\sim D_{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r};a_{r+1}\right)$, si la seva funció de densitat de probabilitat conjunta és

$\left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r},a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}\right)^{a_{r+1}-(p+1)/2}$

on $a_{i}>(p-1)/2,i=1,\ldots ,r+1$ i $\beta _{p}\left(\cdots \right)$ és la funció beta multivariant.

Si escrivim $U_{r+1}=I_{p}-\sum _{i=1}^{r}U_{i}$ aleshores el PDF pren la forma més senzilla

$\left\{\beta _{p}\left(a_{1},\ldots ,a_{r+1}\right)\right\}^{-1}\prod _{i=1}^{r+1}\det \left(U_{i}\right)^{a_{i}-(p+1)/2},$

entenent que $\sum _{i=1}^{r+1}U_{i}=I_{p}$.