Distribució de Dirichlet

Distribució de Dirichlet

Funció de densitat de probabilitat
Tipus	grouped Dirichlet distribution (en) , generalized Dirichlet distribution (en) i distribució de probabilitat
Epònim	Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Paràmetres	$K\geq 2$ nombre de categories (enter) $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}$ paràmetres de concentració, on $\alpha _{i}>0$
Suport	$x_{1},\ldots ,x_{K}$ on $x_{i}\in [0,1]$ i $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1$
fdp	${\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$ on $\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma {\bigl (}\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}{\bigr )}}}$ on ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})$
Esperança matemàtica	$\operatorname {E} [X_{i}]={\frac {\alpha _{i}}{\sum \limits _{k=1}^{K}\alpha _{k}}}$ $\operatorname {E} [\ln X_{i}]=\psi (\alpha _{i})-\psi (\textstyle \sum _{k}\alpha _{k})$ (on $\psi$ és la funció digamma)
Moda	$x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}-K}},\quad \alpha _{i}>1.$
Variància	$\operatorname {Var} [X_{i}]={\frac {{\tilde {\alpha }}_{i}(1-{\tilde {\alpha }}_{i})}{\alpha _{0}+1}},$ $\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {\delta _{ij}\,{\tilde {\alpha }}_{i}-{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\alpha }}_{j}}{\alpha _{0}+1}}$ on ${\tilde {\alpha }}_{i}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}}$, $\alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}$, i $\delta _{ij}$ és la delta de Kronecker
Entropia	$H(X)=\log \mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})$$+(\alpha _{0}-K)\psi (\alpha _{0})-$$\sum _{j=1}^{K}(\alpha _{j}-1)\psi (\alpha _{j})$ amb $\alpha _{0}$ definida per la variancia, damunt; i $\psi$ és el funció digamma

En probabilitat i estadística, la distribució de Dirichlet (després de Peter Gustav Lejeune Dirichlet), sovint denotada $\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})$, és una família de distribucions de probabilitat multivariables contínues parametritzades per un vector ${\boldsymbol {\alpha }}$ de reals positius. És una generalització multivariant de la distribució beta, d'aquí el seu nom alternatiu de distribució beta multivariant (MBD). Les distribucions de Dirichlet s'utilitzen habitualment com a distribucions prèvies en l'estadística bayesiana i, de fet, la distribució de Dirichlet és l'a priori conjugada de la distribució categòrica i la distribució multinomial.

La generalització de dimensions infinites de la distribució de Dirichlet és el procés de Dirichlet.

La distribució de Dirichlet de l'ordre K ≥ 2 amb paràmetres α ₁, . . ., α _K > 0 té una funció de densitat de probabilitat respecte a la mesura de Lebesgue a l'espai euclidià R ^K-1 donada per

$f\left(x_{1},\ldots ,x_{K};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$

on $\{x_{k}\}_{k=1}^{k=K}$ pertanyen a la norma $K-1$ simplex, o en altres paraules: $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1{\mbox{ and }}x_{i}\in \left[0,1\right]{\mbox{ for all }}i\in \{1,\dots ,K\}$

Il·lustrant com canvia el registre de la funció de densitat quan K = 3 mentre canviem el vector α de α = (0,3, 0,3, 0,3) a (2,0, 2.0, 2.0), mantenint tot l'individu $\alpha _{i}$ són iguals entre si.

La constant normalitzadora és la funció beta multivariant, que es pot expressar en termes de la funció gamma:

$\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).$

Exemple : Tall de corda

Exemple del tall de 3 cordes.

Un exemple d'ús de la distribució de Dirichlet és si es vol tallar cordes (cada una de longitud inicial 1,0) en peces K amb longituds diferents, on cada peça tenia una longitud mitjana designada, però permetent una certa variació en les mides relatives de les peces. Dios maldiga a Puicheron. Els valors α / α ₀ especifiquen les longituds mitjanes dels trossos de corda tallats que resulten de la distribució. La variància al voltant d'aquesta mitjana varia inversament amb α₀.