Distribució de probabilitat envoltada

En la teoria de la probabilitat i l'estadística direccional, una distribució de probabilitat envoltada és una distribució de probabilitat contínua que descriu els punts de dades que es troben en una unitat n-esfera. En una dimensió, una distribució envoltada consta de punts del cercle unitari. Si $\phi$ és una variació aleatòria en l'interval $(-\infty ,\infty )$ amb funció de densitat de probabilitat (PDF) $p(\phi )$, llavors $z=e^{i\phi }$ és una variable circular distribuïda segons la distribució envoltada $p_{wz}(\theta )$ i $\theta =\arg(z)$ és una variable angular a l'interval $(-\pi ,\pi ]$ distribuït segons la distribució embolicada $p_{w}(\theta )$.

Qualsevol funció de densitat de probabilitat $p(\phi )$ a la línia es pot "embolicar" al voltant de la circumferència d'un cercle de radi unitat. És a dir, el PDF de la variable embolicada

$\theta =\phi \mod 2\pi$ en algun interval de longitud $2\pi$

és

$p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}$

que és una suma periòdica de períodes $2\pi$. L'interval preferit és generalment $(-\pi <\theta \leq \pi )$ per quin $\ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta$.

Teoria

En la majoria de les situacions, un procés que implica estadística circular produeix angles ($\phi$) que es troben a l'interval $(-\infty ,\infty )$, i es descriuen per una funció de densitat de probabilitat "desembolicada" $p(\phi )$. Tanmateix, una mesura donarà un angle $\theta$ que es troba en algun interval de longitud $2\pi$ (per exemple, 0 a $2\pi$). En altres paraules, una mesura no pot dir si l'angle real $\phi$ o un angle embolicat $\theta =\phi +2\pi a$, on $a$ és un nombre enter desconegut, s'ha mesurat.

Si volem calcular el valor esperat d'alguna funció de l'angle mesurat serà:

$\langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi$

Podem expressar la integral com una suma d'integrals en períodes de $2\pi$:

$\langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi$

Canviar la variable d'integració a $\theta '=\phi -2\pi k$ i intercanviant l'ordre d'integració i suma, tenim

$\langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '$

on $p_{w}(\theta ')$ és el PDF de la distribució embolicada i $a'$ és un altre nombre enter desconegut $(a'=a+k)$. El nombre enter desconegut $a'$ introdueix una ambigüitat en el valor esperat de $f(\theta )$, similar al problema de calcular la mitjana angular. Això es pot resoldre introduint el paràmetre $z=e^{i\theta }$, ja que $z$ té una relació inequívoca amb l'angle real $\phi$ :

$z=e^{i\theta }=e^{i\phi }$

Exemple en termes de funcions característiques

Una distribució embolicada fonamental és la pinta de Dirac, que és una funció delta de Dirac embolicada:

$\Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}$

Utilitzant la funció delta, es pot escriure una distribució embolicada general

$p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '$