Distribució de recompte estable

Distribució de recompte estable

Paràmetres	$\alpha$ ∈ (0, 1) — paràmetre estabilitat $\theta$ ∈ (0, ∞) — paràmetre escala $\nu _{0}$ ∈ (−∞, ∞) — lparàmetre lloc
Suport	x ∈ R and x ∈ [$\nu _{0}$, ∞)
fdp	${\mathfrak {N}}_{\alpha }(x;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{x-\nu _{0}}}L_{\alpha }({\frac {\theta }{x-\nu _{0}}})$
FD	existeix en integral
Esperança matemàtica	${\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}$
Mediana	no analítica
Moda	no analítica
Variància	${\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}$
Coeficient de simetria	a definir
Curtosi	a definir
FGM	Fox-Wright existeix

En la teoria de la probabilitat, la distribució de recompte estable és l'anterior conjugat d'una distribució estable unilateral. Aquesta distribució va ser descoberta per Stephen Lihn (xinès: 藺鴻圖) en el seu estudi de 2017 sobre les distribucions diàries de l'S&P 500 i el VIX. La família de distribució estable també es coneix de vegades com la distribució alfa-estable de Lévy, després de Paul Lévy, el primer matemàtic que la va estudiar.

Dels tres paràmetres que defineixen la distribució, el paràmetre d'estabilitat $\alpha$ és el més important. Les distribucions de recompte estables tenen $0<\alpha <1$ . El cas analític conegut de $\alpha =1/2$ està relacionat amb la distribució VIX. Tots els moments són finits per a la distribució.

Definició

La seva distribució estàndard es defineix com

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right),$

on $\nu >0$ i $0<\alpha <1.$

La seva família a escala de localització es defineix com

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),$

on $\nu >\nu _{0}$, $\theta >0$, i $0<\alpha <1.$

Aplicacions

La distribució estable del recompte pot representar força bé la distribució diària de VIX. Es planteja la hipòtesi que VIX es distribueix

com ${\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )$ amb $\nu _{0}=10.4$ i $\theta =1.6$. Així, la distribució de recompte estable és la distribució marginal de primer ordre d'un procés de volatilitat. En aquest context, $\nu _{0}$ s'anomena "volatilitat del sòl". A la pràctica, VIX rarament cau per sota de 10. Aquest fenomen justifica el concepte de "volatilitat del sòl". A continuació es mostra una mostra de l'ajust: