En Teoria de la probabilitat i Estadística, la funció generatriu de moments o funció generadora de moments d'una variable aleatòria és una funció que conté tota la informació de les propietats probabilístiques de la variable. En comparació amb la funció característica, té l'avantatge que al ser una funció real de variable real es pot treballar amb eines més elementals; però, d'altra banda, atès que hi ha variables que no tenen funció generatriu de moments, els resultats que s'obtenen són menys generals.
A més de caracteritzar la distribució de probabilitat, la funció generatriu de moments té molt bones propietats en relació amb la suma de variables aleatòries independents i amb la convergència en distribució.
Sigui una variable aleatòria. La funció generatriu de moments (f.g.m.) de en el punt , que designarem per o per , es defineix [1][2]per sempre que aquesta esperança sigui finita. Atès que , l'esperança anterior sempre es pot calcular, però pot donar infinit. Quan és finita en un entorn de 0 (o en un conjunt més gran que inclogui un entorn de 0), es diu que la variable aleatòria té funció generatriu de moments.
Si és discreta, que pren valors amb probabilitats , llavors, sempre que la sèrie anterior sigui convergent.
Si és contínua amb funció de densitat , llavors, sempre que aquesta integral sigui convergent.
Exemple 1. Sigui una variable aleatòria binomial. Escrivim . Llavors que és finita per a qualsevol . Així, la f.g.m. de és Exemple 2. Sigui una variable exponencial amb paràmetre ,amb funció de densitat Aleshores
Així, només està definida per ; concretament, la f.g.m. és Exemple 3. Sigui una variable aleatòria amb distribució de Cauchy amb funció de densitat Aleshores, per qualsevol ,Per tant, no té f.g.m.
Remarca. Tal com hem dit a la definició, sempre que es diu que una variable aleatòria té f.g.m. es sobreentén que té f.g.m. en un entorn de zero o un conjunt que contingui un entorn de zero.
Aquesta propietat estableix el lligam entre la f.g.m d'una variable aleatòria i els seus moments, i d'aquí ve el nom d'aquesta funció.
Sigui una variable aleatòria amb f.g.m. en un entorn de zero , amb . Aleshores [3]
La variable té moments de tots els ordres. Designarem el moment d'ordre per :
La f.g.m. és infinitament diferenciable i
La f.g.m. es pot desenvolupar en sèrie de MacLaurin:
Més generalment,[4] la f.g.m. es pot desenvolupar en sèrie de Taylor en tot punt on és un entorn de tal que . Es diu que és una funció analítica (real) en .
Demostracions
Demostració de la propietat 1. Del desenvolupament de la funció exponencial en sèrie de Taylor tenim que i tots els termes de la sèrie són positius. Per tant, Però per a , D'on resulta la propietat. Les propietats 2 i 3 es dedueixen de la propietat 4.
Demostració de la propietat 4. Fixem . Desenvolupem en serie de Taylor la funció en el punt : Ara traiem esperances i commutem l'esperança amb la sèrie, amb la qual cosaPer demostrar que el pas (*) és correcte, sigui , posem i prenem . Per a qualsevol , Raonant com a la demostració de l'apartat 1, tenim que Llavors, pel teorema de convergència dominada s'obté (*).
Cal notar que a l'apartat 3, atès que , es pot prendre .
Exemple 4. Continuant amb l'exemple 2 de més amunt, una variable exponencial amb paràmetre . Havíem calculat que la f.g.m. és Per a , tenim que , i llavors l'expressió és la suma d'una sèrie geomètrica de raó en valor absolut menor que 1: En conseqüència, atès que el desenvolupament en sèrie de potències és únic, comparant aquesta fórmula amb la donada a la propietat 3, deduïm que els moments de són
Funció generatriu i suma de variables independents
Sigui una successió de variables aleatòries amb f.g.m. respectivament, definides en , per algun . Suposem que per algun , on és una funció (finita) definida en . Aleshores existeix una variable aleatòria tal que que té f.g.m. i Per a la demostració, vegeu Curtiss.[5]
Una propietat important de les funcions característiques diu que si una successió de variables aleatòries convergeix en distribució a una variable aleatòria, aleshores les funcions característiques de les variables de la successió convergeixen a la funció característica del límit. Aquesta propietat no és certa en general per a funcions generatrius de moments. Curtiss [5] dona un contraexemple.
En general, la convergència en distribució no implica la convergència de les corresponens funcions generatrius de moments
Sigui una variable aleatòria amb funció de densitat on . Es tracta de la densitat d'una distribució de Cauchy centrada amb paràmetre d'escala , , truncada entre i , i normalitzada per tal que la seva integral sobre tot sigui 1. Nadarajah[6] l'anomena distribució de Cauchy truncada.
La funció de distribució de és
És clar que Per tant, D'altra banda, la funció generatriu de moments de , que existeix per a tot ja que és afitada, compleix Es comprova, calculant la integral de la dreta, que per qualsevol , Però la funció generatriu del límit de la successió és
Sigui una variable aleatòria amb f.g.m. . S'anomena domini de la f.g.m.,[4] i es designa per , al conjunt El conjunt és un interval, finit o infinit, que conté el 0.
En efecte, en primer lloc, com que per , , tenim que . Ara, si , i prenem , per la desigualtat de Hölder amb i tenim que Per tant, . D'on es dedueix que ha de ser un interval.
Extensió al camp complex. La transformada de Laplace
Recordem que una variable aleatòria a valors complexos és una expressió de la formaon i són variables aleatòries ordinàries. Si ambdues i tenen esperança, aleshores es defineix l'esperança de per Designem per el mòdul d'un nombre complex , llavors, la condició per tal que tingui esperança és ja que
Sigui una variable aleatòria. S'anomena transformada de Laplace[4][5] de en el punt a sempre que aquesta esperança existeixi, és a dir,Cal notar que si té funció de densitat , aleshores que és la transformada de Laplace bilateral ordinària de la funció , a part del signe de l'exponent, que en probabilitats es pren positiu per coherència amb les altres notacions. En el cas general, si té funció de distribució , llavors on la integral de la dreta és una integral de Lebesgue-Stieltjes, i que és la transformada de Laplace bilateral clàssica (excepte el signe de l'exponent); per les propietats de la transformada de Laplace en aquest context general veieu el clàssic llibre de Widder .[7]
Exemple 5. Continuem amb la distribució exponencial de paràmetre de l'exemple 2. Llavors i la integral de la dreta és la transformada de Laplace clàssica de la funció en el punt . Llavor s'obté (veieu [8] per al càlcul d'aquesta transformada de Laplace) on és la part real del nombre complex .
Domini de la transformada de Laplace
Sigui . Llavors, on hem utilitzat la fórmula d'Euler, per deduir que el número complex està sobre la circumferència unitat i, per tant, té mòdul 1.
Retornant a la transformada de Laplace, tenim que Llavors, si designem per el domini de la transformada de Laplace: tindrem que
Llavors, si, per exemple, amb , serà la franja del pla complex formada per tals que , la qual inclourà l'eix imaginari , vegeu la Figura 2.
Relacions entre la funció generatriu de moments, la transformada de Laplace i la funció característica.
Sigui una variable aleatòria amb funció generatriu de moments en per a . Tal com hem comentat, la transformada de Laplace existirà en la franja i, òbviament, D'altra banda, si designem per la funció característica de , atès que , tindrem que
Demostració de la propietat que la funció generatriu de moments determina la distribució de la variable aleatòria
Aquesta demostració és de Curtiss [5] i utilitza el fet que les funcions característiques determinen la llei d'una variable aleatòria. Siguin i dues variables aleatòries amb f.g.m. i , transformades de Laplace i i funcions característiques i respectivament. Suposem que per a algun ,Aleshores, les transformades de Laplace compliran
i llavors,[9] coincidiran en tot el seu domini d'analicitat:
Per tant, les funcions característiques compliran D'on les distribucions de i són iguals.
Tots els resultats anteriors s'estenen al cas vectorial de la següent manera. Sigui un vector aleatori. La funció definida en aquells punts on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments[10] de . Quan està definida en un entorn de , es diu que el vector aleatori té funció generatriu de moments.
Remarcarem les tres propietats següents que són especialment útils:
Unicitat.[11] Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de , aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.
Independència.[11] Siguin i dos vectors aleatoris tal que el vector té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores són independents si i només si
Moments.[10] Si un vector aleatori té funció generatriu de moments en un entorn de , aleshores té moments de tots els ordres i
Vegeu uns exemples a la secció següent.
Funció generatriu de moments i funcions característiques d'algunes distribucions importants
↑Sanz i Solé, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 118. ISBN 84-8338-091-9.
↑ 2,02,12,22,3Degroot, Morris H. Probabilidad y Estadística. 2a. edición. Mèxico: Addison-Wesley Iberoamericana, 1988, p. 190-194. ISBN 0-201-64405-3.
↑Athreya, Krishna Balasundaram; Lahiri, Soumendra Nath. Measure theory and probability theory. New York: Springer, 2006, p. 194-196. ISBN 978-0-387-32903-1.
↑ 4,04,14,2Hoffmann Jørgensen, Jørgen. Probability with a view toward statistics. 1. Boca Raton: CRC Press, 2003, p. 283-284. ISBN 978-0-412-05221-7.
↑Widder, D. V.. The Laplace Transform. London: Princeton University Press, 1946.
↑Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. Basic complex analysis. 2. ed., 9. pr. New York: Freeman, 1997, p. 527. ISBN 978-0-7167-1814-7.
↑Carrier, George F.; Krook, Max; Pearson, Carl E. Functions of a complex variable: theory and technique. Philadelphia (Pa.): SIAM, 2005, p. 65. ISBN 978-0-89871-595-8.