Espiral sinusoïdal

Espiral sinusoidal amb n=2,5 (línia contínua) i amb n=-2,5 línia de punts.

Espiral sinusoidal amb n=0,5 (línia contínua) i amb n=-0,5 línia de punts.

Espiral sinusoidal amb n=3 (línia contínua) i amb n=-3 línia de punts.

En geometria, les espirals sinusoidals són una família de corbes definides per l'equació en coordenades polars

$r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$

on a és una constant diferent de zero i n és un nombre racional diferent de 0. Amb una rotació entorn de l'origen, també es pot escriure

$r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,$

El terme "espiral" és enganyós, perquè no són de fet espirals, i sovint tenen una forma similar a una flor. Moltes corbes conegudes són espirals sinusoidals incloent-hi:

• Recta ( n = −1)
• Circumferència (n = 1)
• Hipèrbola equilàtera ( n = −2)
• Paràbola (n = −1/2)
• Cardioide (n = 1/2)
• Lemniscata De Bernoulli (n = 2)
• Cúbica de Tschirnhaus (n = −1/3)

Aquestes corbes varen ser estudiades per primera vegada per Colin Maclaurin.

Equacions

Derivant

$r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$

i eliminant a s'obté una equació diferencial en r i θ:

${\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0$.

Llavors

$\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)$

que implica que l'angle tangencial polar és

$\psi =n\theta \pm \pi /2$

i així l'angle tangencial és

$\varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2$.

(Aquí el signe és positiu si $r$ i $\cos n\theta$ tenen el mateix signe i negatiu altrament.)

El vector unitari tangent

$\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)$,

té longitud u, per tant comparant la magnitud dels vectors a cada costat de l'equació de dalt dona

${\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.

En particular, la llargada d'un bucle únic quan $n>0$ és:

$a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta$

La curvatura ve donada per

${\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.

Propietats

La corba inversa d'una espiral sinusoidal respecte a una circumferència amb centre a l'origen és una altra espiral sinusoidal el valor de n de la qual és el negatiu del valor n de la corba original. Per exemple, la inversa de la lemniscata de Bernoulli és una hipèrbole.

L'isoptica, la podaria i la podaria negativa d'una espiral sinusoidal són espirals sinusoidals diferents.

El camí que segueix una partícula sotmesa a una força central proporcional a una potència de r és una espiral sinusoidal.

Quan n és un enter, i es tracen n punts a intervals regulars sobre una circumferència de radi a, llavors el conjunt de punts tals que la mitjana geomètrica de les distàncies del punt fins als n punts sigui 1 és una espiral sinusoidal. En aquest cas l'espiral sinusoidal és una lemniscata polinòmica

Referències

• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Spiral" p. 213–214
• "Sinusoidal spiral" a www.2dcurves.com
• "Sinusoidal Spirals" a The MacTutor History of MathematicsArxivat 2012-04-07 a Wayback Machine.
• "Spirale Sinusoïdale" a Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Weisstein, Eric W., «Sinusoidal Spiral» a MathWorld (en anglès).