Força central

Una força central és una força que està dirigida al llarg d'una recta radial a un centre fix i la magnitud de la qual només depèn de la coordenada radial $r$:

$\mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}$

on ${\hat {\mathbf {r} }}$ és un vector unitari dirigit radialment des de l'origen.

El vector força és sempre paral·lel al vector posició. L'origen creador de la força s'anomena centre del moviment.

Propietats

Una força central és sempre una força conservativa. Les forces conservatives no depenen del temps i satisfan que el seu rotacional és nul. Es poden expressar com el gradient del seu potencial amb el signe canviat:

$\nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=0$

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} )$

En els camps de forces centrals el moment angular es conserva:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\mbox{const}}$

Això és degut al fet que el moment de forces és nul ($\mathbf {\mathbf {\tau } } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0$), ja que el vector força és sempre paral·lel al de posició. Com a conseqüència, el cos sotmès a la força es mou en un pla.

Si el moment angular és nul, el cos descriu un moviment rectilini amb acceleració no constant a través de la recta que l'uneix a l'origen.

Exemples

Els casos més familiars de forces centrals són les forces de la gravetat i l'electroestàtica. Ambdós són exemples de forces proporcionals a l'invers del quadrat de la distància: $F(r)\propto 1/r^{2}$. Un altre exemple és l'oscil·lador harmònic, on $F(r)\propto r$ i és de signe negatiu.

El teorema de Bertrand demostra que les forces del tipus $F(r)=-k/r^{2}$ i $F(r)=-kr$ són les úniques forces centrals que produeixen òrbites tancades estables.