Facetatge
En geometria, el facetatge és el procés d'eliminar parts d'un polígon, políedre o polítop sense crear cap nous vèrtexs.
Les noves arestes d'un políedre facetat poden ser creades al llarg de les diagonals de cara o de diagonals espacial internes. Un políedre facetat tindrà dues cares en cada aresta i crea nous políedres o compostos de políedres.
El facetatge és el procés recíproc o dual de l'estelació. Per cada estel·lació d'un polítop convex existeix un facetatge dual del polítop dual.
Polígons facetats
[modifica]Per exemple, un pentàgon regular té un facetatge simètric, el pentagrama, i l'hexàgon regular té dos facetatges simètrics, un com a polígon i un com a compost de dos triangles.
| Pentàgon | Hexàgon | Decàgon | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
| |||||||
| Pentagrama {5/2} |
Hexàgon estelat | Compost 2{3} |
Decagrama {10/3} |
Compost 2{5} |
Compost 2{5/2} |
Decàgon estelat | |||
|
|
.svg)
|
|
.svg)
|
.svg)
|
|
|
|
|
Políedres facetats
[modifica]L'icosàedre regular es pot facetar en tres políedres de Kepler-Poinsot regulars: el petit dodecàedre estelat, el gran dodecàedre i el gran icosàedre. Tots ells tenen 30 arestes.
| Convex | Estels regulars | ||
|---|---|---|---|
| icosàedre | gran dodecàedre | petit dodecàedre estelat | gran icosàedre |
|
|
|
|
D'altra banda, el dodecàedre pot ser facetat en un políedre de Kepler-Poinsot regular, tres políedres estelats uniformes i tres políedres composts regulars. Els estelats uniformes i els composts de cinc cubs són construïts per mitjà de diagonals de cara. El dodecàedre excavat és un facetatge amb cares d'hexàgon estelat.
| Convex | estelat regular | estelats uniformes | Vèrtex-transitiu | ||
|---|---|---|---|---|---|
| dodecàedre | gran dodecàedre estelat | petit icosidodecàedre ditrigonal | dodecadodecàedre ditrigonal | gran icosidodecàedre ditrigonal | dodecàedre excavat |
|
|
|
|
|
|
| Convex | Composts regulars | ||
|---|---|---|---|
| dodecàedre | cinc tetràedres | cinc cubs | deu tetràedres |
|
|
|
|
|
Bibliografia
[modifica]- Bertrand, J. Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82.
- Bridge, N.J. Facetting the dodecahedron, Acta crystallographica A30 (1974), pp. 548–552.
- Inchbald, G. Facetting diagrams, The mathematical gazette, 90 (2006), pp. 253–261.
- Alan Holden, Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991. p.94
Enllaços externs
[modifica]- Weisstein, Eric W., «Faceting» a MathWorld (en anglès).