Funció Q

Un gràfic de la funció Q.

En estadístiques, la funció Q és la funció de distribució de la cua de la distribució normal estàndard. En altres paraules, $Q(x)$ és la probabilitat que una variable aleatòria normal (gaussiana) obtingui un valor més gran que $x$ desviacions estàndard. De manera equivalent, $Q(x)$ és la probabilitat que una variable aleatòria normal estàndard pren un valor més gran que $x$ .

Si $Y$ és una variable aleatòria gaussiana amb mitjana $\mu$ i la variància $\sigma ^{2}$, doncs $X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}$ és estàndard normal i$P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)$on $x={\frac {y-\mu }{\sigma }}$ .

Altres definicions de la funció Q, totes elles simples transformacions de la funció de distribució acumulada normal, també s'utilitzen ocasionalment.

A causa de la seva relació amb la funció de distribució acumulada de la distribució normal, la funció Q també es pot expressar en termes de la funció d'error, que és una funció important en matemàtiques i física aplicades.

Formalment, la funció Q es defineix com

$Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.$

Així,

$Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,$

on $\Phi (x)$ és la funció de distribució acumulada de la distribució gaussiana normal estàndard.