Distribució normal

Distribució normal
	Funció de densitat de probabilitat; La corba vermella és la distribució normal estàndard
	Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribution de Tweedie, Distribució t de Student, distribució normal multivariant, família exponencial, Distribució normal esbiaixada, Distribució estable, contaminated normal distribution (en) , distribució univariant i distribució de probabilitat contínua
Epònim	Carl Friedrich Gauß
Notació
Paràmetres	μ ∈ R — mitjana (posició); σ² > 0 — variància (escala al quadrat)
Suport
fdp
FD
Quantil
Esperança matemàtica
Mediana
Moda
Variància
Coeficient de simetria
Curtosi
Entropia
FGM
FC
Informació de Fisher
Mathworld	NormalDistribution

La distribució normal, també coneguda com a distribució gaussiana, és una important família de distribucions de probabilitat contínues i és aplicable a molts camps. Cada membre de la família queda definit per dos paràmetres: la localització o mitjana $\mu$ i l'escala o desviació estàndard $\sigma$ , i es denota per $\ {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ . Un cas particular és la distribució normal estàndard, per la qual la mitjana és 0 i la desviació estàndard és 1. Fou Carl Friedrich Gauss qui descobrí la distribució normal quan analitzava dades astronòmiques, i definí l'equació de la seva funció de densitat de probabilitat.^[1] Aquesta distribució també s'anomena campana de Gauss, atès que el gràfic de la seva funció de densitat de probabilitat s'assembla a una campana.

La importància de la distribució normal en les ciències naturals i del comportament rau en el teorema central del límit. Aquest teorema estableix que la suma d'un elevat nombre d'efectes independents segueix (aproximadament) una distribució normal. D'aquesta manera, és útil en processos en els quals hi ha errors de mesura que es deuen a un elevat nombre de factors, tots ells contribuint una petita porció a l'error total. En la teoria de probabilitat i d'inferència estadística, el teorema central del límit garanteix que un llarg nombre d'estadístics segueixen la distribució normal, si més no aproximadament. Per exemple, la mitjana mostral o els estimadors màxim versemblants segueixen aproximadament una distribució normal sota certes condicions matemàtiques que són força generals.^[2]

Funció de densitat de probabilitat

f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}={\frac {1}{\sigma }}\,\phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)

on σ és la desviacio estàndard, μ és l'esperança matemàtica, i

\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}

és la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal estàndard, és a dir, la distribució normal amb μ = 0 i σ = 1. Per comprovar que la integral de $\varphi (x)$ sobre la recta real és igual a 1 vegeu la integral de Gauß.^[3]^[4]

Funció de distribució

La funció de distribució d'una distribució normal ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ és $F(x;\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x}f(t;\mu ,\sigma )\,dt={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-(t-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dt,\quad x\in \mathbb {R} .$ Per a una distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$ s'acostuma a utilitzar la notació $\Phi (x)$ per designar la seva funció de distribució. Concretament, $\Phi (x)=F(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt,\quad x\in \mathbb {R} .$ Cal notar que $F(x;\mu ,\sigma )=\Phi {\Big (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Big )}.$

(Vegeu mes avall l'apartat sobre estandardització de variables normals).^[5]^[6]

Es important remarcar que la funció de distribució no és pot expressar en termes de funcions elementals (polinomis, exponencials, funcions trigonomètriques,..) Vegeu un comentari sobre la demostració d'aquesta propietat a l'article.^[7] Per aquest motiu, de cara a la utilització pràctica de les distribucions normals i els càlculs numèrics corresponents, les aproximacions a la funció de distribució són molt importants i s'han utilitzat tècniques d'integració numèrica, sèries de Taylor, sèries asimptòtiques o fraccions contínues. Vegeu Patel and Read per una revisió d'aquestes aproximacions.^[8]

Funcions generadores

Funció generadora de moments

La funció generadora de moments es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(tX). Per la distribució normal la funció generadora de moments és:^[6]

M_{X}(t)=\mathrm {E} \left[\exp {(tX)}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}\exp {(tx)}\,dx=\exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}.

Funció característica

La funció característica es defineix com a l'esperança matemàtica de exp(itX), on i és el nombre imaginari, i t és un nombre real. Per la distribució normal la funció característica és:^[9]^[10]

\varphi _{X}(t)=E{\big [}e^{itX}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\exp(itx)\,dx=\exp \left(i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right).

Propietats

Algunes propietats:

Si $X\,\sim \,{\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ i $a$ i $b$ són nombres reals, aleshores $aX+b\,\sim \,N(a\mu +b,(a\sigma )^{2})$ (veure esperança i variància).^[11]
Si $X\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})$ $X\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})$ i $Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})$ $Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})$ són variables aleatòries normals independents, aleshores:^[12]^[11]
- La seva suma segueix la distribució normal amb $U=X+Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ .
- La seva diferència segueix una distribució normal amb $V=X-Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ .
- $U$ i $V$ són independents si i només si $\sigma _{X}=\sigma _{Y}$ .
- La divergència de Kullback-Leibler,^[13] $D_{\rm {KL}}(X\|Y)={1 \over 2}\left(\log \left({\sigma _{Y}^{2} \over \sigma _{X}^{2}}\right)+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}+{\frac {\left(\mu _{Y}-\mu _{X}\right)^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-1\right).$
Si $X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{X}^{2})$ $X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{X}^{2})$ i $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{Y}^{2})$ $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{Y}^{2})$ són variables aleatòries normals independents, aleshores:^[12]
- El seu producte $XY$ segueix una distribució and funció de probabilitat de densitat $p$ donada per
  $p(z)={\frac {1}{\pi \,\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\;K_{0}\left({\frac {|z|}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\right),$ on $K_{0}$ és una funció de Bessel modificada de segon tipus.
- El seu qüocient segueix una distribució de Cauchy amb $X/Y\,\sim \,\mathrm {Cauchy} (0,\,\sigma _{X}/\sigma _{Y})$ .
Si $X_{1},\dots ,X_{n}$ són variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb distribució normal estàndard, aleshores $X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}$ segueix una distribució khi quadrat amb n graus de llibertat.^[14]

Estandardització de variables aleatòries normals

Com a conseqüència de la propietat 1, és possible relacionar totes les variables aleatòries normals amb la distribució normal estàndard; aquest procediment s'anomena estandardització d'una variable normal.

Si $\ X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ , aleshores

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\!

és una variable aleatòria normal estàndard: $\ Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ . Una conseqüència important és que la funció de distribució de $\ X$ és :

F(x;\mu ,\sigma )=\Pr(X\leq x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),

on $\Phi$ és la funció de distribució normal estàndard: per a tot real t,

\ \Phi (t)=\int _{-\infty }^{\,t}\phi (u)\,du=\int _{-\infty }^{\,t}{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {u^{2}}{2}}}\,du={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right).

D'altra banda, si $Z$ és una variable aleatòria normal estàndard, $\ Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ , aleshores

X=\sigma \,Z+\mu

és una variable aleatòria normal amb esperança $\mu$ i variància $\sigma ^{2}$ .

La funció de distribució normal estàndard $\Phi$ ha estat tabulada, i les altres funcions de distribució normals en són simples transformacions, tal com hem explicat anteriorment. Per tant, un pot emprar valors tabulats de la funció de distribució normal estàndard per a trobar el valor de la funció de distribució de qualsevol altra distribució normal.

Moments

Alguns dels primers moments de la distribució normal són:

Número	Moment	Moment central	Cumulant
0	1	1
1	$\mu$	0	$\mu$
2	$\mu ^{2}+\sigma ^{2}$	$\sigma ^{2}$	$\sigma ^{2}$
3	$\mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}$	0	0
4	$\mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}$	$3\sigma ^{4}$	0

Tots els cumulants de la distribució normal a partir del segon són zero.

Moments d'una variable normal centrada

Per a les variables aleatòries normals centrades tenim la següent fórmula per als moments de qualsevol ordre. Si $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ aleshores ^[15] $E[Z^{k}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ k\ {\text{és senar}},\\\\{\dfrac {(2n)!}{2^{n}\,n!}},&{\text{si}}\ k=2n.\end{cases}}$ Notem que ${\frac {(2n)!}{2^{n}\,n!}}={\frac {(2n-1)!}{2^{n-1}\,(n-1)!}}=(2n-1)(2n-3)\cdots 1=(2n-1)!!=(k-1)!!,$ on $m!!$ denota el doble factorial de $m$ . Així, de forma més compacta podem escriure $E[Z^{k}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ k\ {\text{és senar}},\\\\(k-1)!!,&{\text{si}}\ k\ {\text{és parell}}.\end{cases}}$

Alternativament, usant la relació del doble factorial amb la funció gamma, per a $k$ parell, $(k-1)!!={\frac {2^{k/2}}{\sqrt {\pi }}}\,\Gamma {\Big (}{\frac {k+1}{2}}{\Big )},$ on $\Gamma (x)$ és la funció gamma.

De la fórmula pels moments de $Z$ és dedueix que si $X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ , aleshores

$E[X^{k}]={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ k\ {\text{és senar}},\\(k-1)!!\,\sigma ^{k},&{\text{si}}\ k\ {\text{és parell}}.\end{cases}}$

Cas general

Sigui $\ X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ , i designem per $m_{k}=E[X^{k}]$ el moment d'ordre $k$ . Aleshores ^[16] $m_{k}=\sigma ^{k}k!\sum _{j=0}^{[k/2]}{\frac {(\mu /\sigma )^{k-2j}}{2^{j}j!(k-2j)!}},$ on $[r]$ designa la part entera del nombre $r$ .

Recurrència pels moments d'una variable normal

Amb les notacions anteriors tenim ^[16] $m_{k+1}=\mu \,m_{k}+k\sigma ^{2}m_{k-1},\quad k\geq 1.\qquad \qquad (*)$

Expressió compacta dels moments

Suposem que $\sigma =1$ . Aleshores $m_{k}=e^{-\mu ^{2}/2}\,{\frac {d^{k}e^{\mu ^{2}/2}}{d\mu ^{k}}},$ on $d^{n}f(x)/dx^{n}$ designa la derivada d'ordre $n$ -èssim de la funció $f$ , amb el conveni $d^{0}f(x)/dx^{0}=f(x)$ . Aquesta fórmula és demostra mitjançant la regla de Leibniz per provar que la funció $P_{k}(\mu )=e^{-\mu ^{2}/2}\,{\frac {d^{k}e^{\mu ^{2}/2}}{d\mu ^{k}}},$ compleix la recurrència (*), amb $P_{0}(\mu )=1$ i $P_{1}(\mu )=\mu$ .^[17]

Referències

↑ Havil, Julian. Gamma: exploring Euler's constant. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 2003. ISBN 978-0-691-09983-5.
↑ «3.1. Normal». A: Estadística I. Universitat de València [Consulta: 7 febrer 2024]. Arxivat 2024-02-07 a Wayback Machine.
↑ Dodge, Yadolah. Statistique: Dictionnaire encyclopédique (en francès). Springer Science & Business Media, 2004, p. 309. ISBN 978-2-287-21325-0.
↑ Lifshits, M. A.. Gaussian Random Functions (en anglès). Springer Science & Business Media, 1995-02-28, p. 2. ISBN 978-0-7923-3385-2.
↑ Bogaert, 2020, p. 122.
↑ ^6,0 ^6,1 Cramer, 2013, p. 50.
↑ Gasull, Armengol; Utzet, Frederic «Approximating Mills ratio» (en anglès). Journal of Mathematical Analysis and Applications, 420, 2, 12-2014, pàg. 1832–1853, Remark 4. DOI: 10.1016/j.jmaa.2014.05.034.
↑ Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. Handbook of the normal distribution. 2nd ed., rev. and expanded. New York Basel Hong Kong: M. Dekker, 1996. ISBN 978-0-8247-9342-5.
↑ Cramer, 2013, p. 51.
↑ Bogaert, 2020, p. 123.
↑ ^11,0 ^11,1 Ross, Sheldon M. Initiation aux Probabilités. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2007, p. 235.
↑ ^12,0 ^12,1 Fuchs, Aimé «Plaidoyer pour la Loi Normale» ( PDF) (en francès). Pour la Science, 1995, pàg. 17. Arxivat de l'original el 2014-10-06 [Consulta: 7 febrer 2024].
↑ Allison, Lloyd. «Normal, Gaussian» (en anglès), 2012. Arxivat de l'original el 2023-10-02. [Consulta: 2 març 2017].
↑ Bussab, Wilton de O.; Morettin, Pedro A. Estatística Básica (en portuguès). São Paulo: Saraiva, 2010, p. 77. ISBN 9788502207172.
↑ Nualart, David; Sanz, Marta. Curs de probabilitats. Barcelona: PPU, 1990, p. 116. ISBN 84-7665-718-8.
↑ ^16,0 ^16,1 Willink, R. «Normal moments and Hermite polynomials» (en anglès). Statistics & Probability Letters, 73, 3, 7-2005, pàg. 271–275. DOI: 10.1016/j.spl.2005.03.015.
↑ Olver, Peter J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer, 2000, p. 318–319. ISBN 9780387950006.

Bibliogafia

Bogaert, Patrick. Probabilités pour scientifiques et ingénieurs: Introduction au calcul des probabilités (en francès). De Boeck Superieur, juliol 2020. ISBN 978-2-8073-2655-2.
Cramer, Harald. Random Variables and Probability Distributions (en anglès). Cambridge University Press, 2013.

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució normal

Viccionari

Mètode dels mínims quadrats

[1] Havil, Julian. Gamma: exploring Euler's constant. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 2003. ISBN 978-0-691-09983-5.

[2] «3.1. Normal». A: Estadística I. Universitat de València [Consulta: 7 febrer 2024]. Arxivat 2024-02-07 a Wayback Machine.

[3] Dodge, Yadolah. Statistique: Dictionnaire encyclopédique (en francès). Springer Science & Business Media, 2004, p. 309. ISBN 978-2-287-21325-0.

[4] Lifshits, M. A.. Gaussian Random Functions (en anglès). Springer Science & Business Media, 1995-02-28, p. 2. ISBN 978-0-7923-3385-2.

[FOOTNOTEBogaert2020122-5] Bogaert, 2020, p. 122.

[FOOTNOTECramer201350-6] 6,0 ^6,1 Cramer, 2013, p. 50.

[7] Gasull, Armengol; Utzet, Frederic «Approximating Mills ratio» (en anglès). Journal of Mathematical Analysis and Applications, 420, 2, 12-2014, pàg. 1832–1853, Remark 4. DOI: 10.1016/j.jmaa.2014.05.034.

[8] Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. Handbook of the normal distribution. 2nd ed., rev. and expanded. New York Basel Hong Kong: M. Dekker, 1996. ISBN 978-0-8247-9342-5.

[FOOTNOTECramer201351-9] Cramer, 2013, p. 51.

[FOOTNOTEBogaert2020123-10] Bogaert, 2020, p. 123.

[:1-11] 11,0 ^11,1 Ross, Sheldon M. Initiation aux Probabilités. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2007, p. 235.

[:12-12] 12,0 ^12,1 Fuchs, Aimé «Plaidoyer pour la Loi Normale» ( PDF) (en francès). Pour la Science, 1995, pàg. 17. Arxivat de l'original el 2014-10-06 [Consulta: 7 febrer 2024].

[13] Allison, Lloyd. «Normal, Gaussian» (en anglès), 2012. Arxivat de l'original el 2023-10-02. [Consulta: 2 març 2017].

[14] Bussab, Wilton de O.; Morettin, Pedro A. Estatística Básica (en portuguès). São Paulo: Saraiva, 2010, p. 77. ISBN 9788502207172.

[15] Nualart, David; Sanz, Marta. Curs de probabilitats. Barcelona: PPU, 1990, p. 116. ISBN 84-7665-718-8.

[:0-16] 16,0 ^16,1 Willink, R. «Normal moments and Hermite polynomials» (en anglès). Statistics & Probability Letters, 73, 3, 7-2005, pàg. 271–275. DOI: 10.1016/j.spl.2005.03.015.

[17] Olver, Peter J. Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer, 2000, p. 318–319. ISBN 9780387950006.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Distribucions de probabilitat
Llista
Distribucions discretes amb suport finit	Benford Bernoulli Beta-binomial Binomial Binomial de Poisson Categòrica Hipergeomètrica Rademacher Uniforme discreta Zipf Zipf-Mandelbrot
Distribucions discretes amb suport infinit	Beta-binomial negativa Binomial negativa estesa Borel Conway-Maxwell-Poisson Delaporte Tipus fase Fractal parabòlica Gauss-Kuzmin Geomètrica Logarítmica Poisson mixta Skellam Yule-Simon Zeta
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat	Arcsinus ARGUS Balding-Nichols Bates Beta no central rectangular Cosinus elevat Irwin-Hall Kumaraswamy Logit-normal Parabòlica PERT Recíproca Triangular Uniforme Wigner
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit	Benini Benktander Beta prima Burr χ χ2 inversa inversa escalada no central Dagum Davis Erlang Exponencial Exponencial-logarítmic F no central Flory-Schulz Fréchet Gamma Gamma/Gompertz Gamma inversa Gaussiana inversa Gaussiana inversa generalitzada Gompertz Gompertz desplaçada Gumbel de tipus II hiper-Erlang Hiperexponencial Hipoexponencial Kolmogórov-Smirnov Lambda de Wilks Lévy Log-Cauchy Log-Laplace Log-logística Log-normal Lomax Matriu exponencial Maxwell-Boltzmann Maxwell-Jüttner Mig-logística Mittag-Leffler Nakagami Normal plegada Normal truncada Pareto Poly-Weibull Rayleigh Relativista de Breit-Wigner Rice Seminormal T² de Hotelling Tipus fase Weibull Discreta de Weibull
Distribucions contínues suportades en tota la recta real	Asimètrica de Laplace Cauchy Estable Geomètrica estable Gumbel Gumbel de tipus I Hiperbòlica generalitzada Hiperbòlica secant Holtsmark Landau Laplace Logística Normal generalitzada Normalinversa de Skew Q gaussiana S_U de Johnson Slash t no central t de Student Tracy-Widom Variància-gamma Voigt Z de Fisher
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus	Lambda de Tukey Log-logística desplaçada Marchenko-Pastur Pareto generalitzada q gaussiana q exponencial q de Weibull Valor extrem generalitzada
Barreja de distribució variable-contínua	Rectificada gaussiana
Distribució conjunta	Discreta Ewens Multinomial Multinomial de Dirichlet Multinomial negativa Contínua Dirichlet Dirichlet generalitzada Estable multivariant Gamma normal Gamma normal inversa Normal multivariable t multivariable Matriu de valor Matriu gamma Matriu gamma inversa Matriu normal Normal de Wishart Normal de Wishart inversa t matriu Wishart Wishart inversa
Direccionals	Univariada (circular) Asimètrica de Laplace envoltada Cauchy envoltada Exponencial envoltada Lévy envoltada Normal envoltada Circular uniforme Univariada de von Mises Bivariada (esfèrica) Kent Bivariada (toroidal) Bivariada de von Mises Multivariada von Mises-Fisher Bingham
Degenerada i singular	Degenerada Delta de Dirac Singular Cantor
Famílies	Barreja Circular Composta de Poisson El·líptica Envoltada Exponencial Exponencial natural Màxima entropia Pearson Tweedie Ubicació-escala