Funció X i Y de Chandrasekhar

En la radiació atmosfèrica, la funció X i Y de Chandrasekhar apareix com les solucions dels problemes que comporten reflexió difusa i transmissió, introduïda per l'astrofísic indi-americà Subrahmanyan Chandrasekhar. La funció X i Y de Chandrasekhar $X(\mu ),\ Y(\mu )$ definida a l'interval $0\leq \mu \leq 1$, satisfà la parella d'equacions integrals no lineals:

${\begin{aligned}X(\mu )&=1+\mu \int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}[X(\mu )X(\mu ')-Y(\mu )Y(\mu ')]\,d\mu ',\\[5pt]Y(\mu )&=e^{-\tau _{1}/\mu }+\mu \int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu -\mu '}}[Y(\mu )X(\mu ')-X(\mu )Y(\mu ')]\,d\mu '\end{aligned}}$

on la funció característica $\Psi (\mu )$ és un polinomi parell $\mu$ que generalment compleixen la condició

$\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \leq {\frac {1}{2}},$

i $0<\tau _{1}<\infty$ és el gruix òptic de l'atmosfera. Si la igualtat es compleix en la condició anterior, s'anomena cas conservador, altrament cas no conservador. Aquestes funcions estan relacionades amb la funció H de Chandrasekhar

$X(\mu )\rightarrow H(\mu ),\quad Y(\mu )\rightarrow 0\ {\text{com}}\ \tau _{1}\rightarrow \infty$

i també

$X(\mu )\rightarrow 1,\quad Y(\mu )\rightarrow e^{-\tau _{1}/\mu }\ {\text{com}}\ \tau _{1}\rightarrow 0.$

Aproximació

La funcio $X$ i $Y$ es pot aproximar fins al n-èsim grau com

${\begin{aligned}X(\mu )&={\frac {(-1)^{n}}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {1}{[C_{0}^{2}(0)-C_{1}^{2}(0)]^{1/2}}}{\frac {1}{W(\mu )}}[P(-\mu )C_{0}(-\mu )-e^{-\tau _{1}/\mu }P(\mu )C_{1}(\mu )],\\[5pt]Y(\mu )&={\frac {(-1)^{n}}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {1}{[C_{0}^{2}(0)-C_{1}^{2}(0)]^{1/2}}}{\frac {1}{W(\mu )}}[e^{-\tau _{1}/\mu }P(\mu )C_{0}(\mu )-P(-\mu )C_{1}(-\mu )]\end{aligned}}$

on $C_{0}$ i $C_{1}$ són dos polinomis bàsics de grau n (Consulteu l'equació de Chandrasekhar capítol VIII (97)), $P(\mu )=\prod _{i=1}^{n}(\mu -\mu _{i})$ on $\mu _{i}$ són els zeros dels polinomis de Legendre i $W(\mu )=\prod _{\alpha =1}^{n}(1-k_{\alpha }^{2}\mu ^{2})$, on $k_{\alpha }$ són les arrels positives i no desaparegudes de l'equació característica associada

$1=2\sum _{j=1}^{n}{\frac {a_{j}\Psi (\mu _{j})}{1-k^{2}\mu _{j}^{2}}}$

on $a_{j}$ són els pesos de quadratura donats per

$a_{j}={\frac {1}{P_{2n}'(\mu _{j})}}\int _{-1}^{1}{\frac {P_{2n}(\mu _{j})}{\mu -\mu _{j}}}\,d\mu _{j}$

Propietats

• Si $X(\mu ,\tau _{1}),\ Y(\mu ,\tau _{1})$ són les solucions per a un valor particular de $\tau _{1}$, llavors les solucions per a altres valors de $\tau _{1}$ s'obtenen de les següents equacions integro-diferencials

${\begin{aligned}{\frac {\partial X(\mu ,\tau _{1})}{\partial \tau _{1}}}&=Y(\mu ,\tau _{1})\int _{0}^{1}{\frac {d\mu '}{\mu '}}\Psi (\mu ')Y(\mu ',\tau _{1}),\\{\frac {\partial Y(\mu ,\tau _{1})}{\partial \tau _{1}}}+{\frac {Y(\mu ,\tau _{1})}{\mu }}&=X(\mu ,\tau _{1})\int _{0}^{1}{\frac {d\mu '}{\mu '}}\Psi (\mu ')Y(\mu ',\tau _{1})\end{aligned}}$

• $\int _{0}^{1}X(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu =1-\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu +\left\{\int _{0}^{1}Y(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu \right\}^{2}\right]^{1/2}.$ En casos conservadors, aquesta integral pròpia es redueix a $\int _{0}^{1}[X(\mu )+Y(\mu )]\Psi (\mu )\,d\mu =1.$
• Si s'introdueixen les simplificacions $x_{n}=\int _{0}^{1}X(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ y_{n}=\int _{0}^{1}Y(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ \alpha _{n}=\int _{0}^{1}X(\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ \beta _{n}=\int _{0}^{1}Y(\mu )\mu ^{n}\,d\mu$, llavors tenim una relació que indica $(1-x_{0})x_{2}+y_{0}y_{2}+{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu .$ En el cas conservador, això es redueix a $y_{0}(x_{2}+y_{2})+{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu$
• Si la funció característica és $\Psi (\mu )=a+b\mu ^{2}$, on $a,b$ són dues constants, aleshores tenim $\alpha _{0}=1+{\frac {1}{2}}[a(\alpha _{0}^{2}-\beta _{0}^{2})+b(\alpha _{1}^{2}-\beta _{1}^{2})]$.
• En els casos conservadors, les solucions no són úniques. Si $X(\mu ),\ Y(\mu )$ són solucions de l'equació original, llavors també són les solucions d'aquestes dues funcions $F(\mu )=X(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )],\ G(\mu )=Y(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )]$, on $Q$ és una constant arbritària.