Funció de Jost

En la teoria de la dispersió, la funció de Jost és el wronskià de la solució regular i la solució irregular (solució de Jost) de l'equació diferencial $-\psi ''+V\psi =k^{2}\psi$. Va ser introduïda pel físic teòric suís Res Jost (1918-1990).

Antecedents

Es buscaven solucions $\psi (k,r)$de l'equació de Schrödinger radial en el cas $\ell =0$,

$-\psi ''+V\psi =k^{2}\psi .$

Solucions regulars i irregulars

Una solució regular $\varphi (k,r)$ és aquella que compleix les condicions de contorn,

${\begin{aligned}\varphi (k,0)&=0\\\varphi _{r}'(k,0)&=1.\end{aligned}}$

Si $\int _{0}^{\infty }r|V(r)|<\infty$, la solució es dona com a equació integral de Volterra,

$\varphi (k,r)=k^{-1}\sin(kr)+k^{-1}\int _{0}^{r}dr'\sin(k(r-r'))V(r')\varphi (k,r').$

Tenim dues solucions irregulars (de vegades anomenades solucions de Jost) $f_{\pm }$ amb un comportament asimptòtic $f_{\pm }=e^{\pm ikr}+o(1)$ com $r\to \infty$. Ells son donades per l'equació integral de Volterra,

$f_{\pm }(k,r)=e^{\pm ikr}-k^{-1}\int _{r}^{\infty }dr'\sin(k(r-r'))V(r')f_{\pm }(k,r').$

Si $k\neq 0$, llavors $f_{+},f_{-}$ són linealment independents. Com que són solucions a una equació diferencial de segon ordre, cada solució (en particular $\varphi$) es poden escriure com una combinació lineal entre elles.

Definició de la funció de Jost

La funció de Jost és:

$\omega (k):=W(f_{+},\varphi )\equiv \varphi _{r}'(k,r)f_{+}(k,r)-\varphi (k,r)f_{+,x}'(k,r)$,

on $W$ és el wronskià. Com que $f_{+},\varphi$ les dues solucions a la mateixa equació diferencial, el wronskià és independent de $r$. Així que avaluant a $r=0$ i utilitzant les condicions del contorn a $\varphi$ produeix $\omega (k)=f_{+}(k,0)$.

Aplicacions

La funció de Jost es pot utilitzar per construir les funcions de Green per a

$\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+V(r)-k^{2}\right]G=-\delta (r-r').$

De fet,

$G^{+}(k;r,r')=-{\frac {\varphi (k,r\wedge r')f_{+}(k,r\vee r')}{\omega (k)}},$

on $r\wedge r'\equiv \min(r,r')$ i $r\vee r'\equiv \max(r,r')$.

Referències

• Newton, Roger G. Scattering Theory of Waves and Particles (en anglès). Dover Publications, 2013 (Dover Books on Physics). ISBN 978-0486425351. .
• Yafaev, D. R. Mathematical Scattering Theory (en anglès). Amer Mathematical Society, 1992 (Translations of Mathematical Monographs (llibre 105)). ISBN 978-0821809518.