Funció de probabilitat

Per a altres significats, vegeu «mesura de probabilitat».

En teoria de la probabilitat, la funció de probabilitat (també anomenada funció de massa de probabilitat o funció de repartiment de massa) d'una variable aleatòria discreta és la funció que associa a cada valor possible de la variable la probabilitat que aquesta ho assumeixi.

Definició

Article principal: Variable aleatòria

Considerem un espai de probabilitat $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ Sigui $X$ una variable aleatòria discreta que prengui els valors $D=\{x_{i},\,i\in I\}$, on $I\subset {\mathbb {N} }$. La funció de probabilitat de $X$ és la funció ${\textstyle p:D\longrightarrow [0,1]}$definida per $$p(x_{i})=P(X=x_{i}).$$ Tenim que

$\sum _{i\in I}p(x_{i})=1.$

Aquesta funció determina totes les probabilitats relacionades amb $X$: $$P(X\in B)=\sum _{i:\,x_{i}\in B}p(x_{i}).$$

Observació. Alguns autors defineixen la funció de probabilitat sobre tot el conjunt dels nombres real ${\textstyle p:\mathbb {R} \longrightarrow [0,1]}$ per $$p(x)=P(X=x).$$És clar que $p(x)=0$ a menys que $x\in D$. Això no genera cap problema ni confusió.

Cal advertir que el concepte de funció de probabilitat només té sentit per a variables aleatòries discretes, és a dir, que prenen un nombre finit o numerable de valors. Per a variables aleatòries contínues el concepte anàleg és el de funció de densitat.

Vegeu també

• Funció de distribució
• Funció de densitat