Funció de recompte de nombres primers

Funció de recompte de nombres primers fins a n = 60.

La funció de recompte de nombres primers és la funció $\pi (x)$ que, per un a nombre real $x$ donat compta la quantitat de nombres primers menors o iguals que $x$ (i sempre es denota així, encara que no té res a veure amb el nombre $\pi$). És una funció que no és contínua, ja que és esglaonada, com es pot comprovar fàcilment:

$\pi$(1) = 0 (no hi ha primers ≤ 1)

$\pi$(2) = 1 (l'únic primer ≤ 2 és el 2)

$\pi$(3) = 2 (els primers ≤ 3 són 2 i 3)

$\pi$(4) = 2 (id.)

$\pi$(5) = 3 (els primers ≤ 5 són 2, 3 i 5)

...

$\pi$(10) = 4 (els primers ≤ 10 són 2, 3, 5 i 7)

...

Teorema dels nombres primers

Article principal: Teorema dels nombres primers

Un dels resultats més importants de la teoria de nombres és que el valor de $\pi (x)$ s'aproxima asimptòticament al de $x/\ln x$ quan $x$ tendeix a infinit. És a dir:

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$

Cal notar que això no significa que la diferència entre $\pi (x)$ i $x/\ln x$ s'aproximi a zero (de fet no ho fa) sinó que el seu quocient s'aproxima a 1. Però l'error relatiu que es comet quan es pren $x/\ln x$ en lloc de $\pi (x)$, sí que s'aproxima a zero quan $x\to \infty$. Aquest resultat, conjecturat per primera vegada per Gauss, s'anomena teorema dels nombres primers. Després de molts intents de demostració, els matemàtics Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin n'aconseguiren, independentment, una demostració definitiva.

Si reexpressem la relació anterior com

${\frac {\pi (x)}{x}}\sim {\frac {1}{\ln x}}$

la podem interpretar com que la densitat mitjana de nombres primers dins dels nombres enters es fa cada cop més petita, i s'aproxima a $1/\ln x$ a mesura que $x$ augmenta.