Funció eta de Dedekind

No s'ha de confondre amb funció zeta de Dedekind o funció eta de Dirichlet.

Funció eta de Dedekind representada al pla complex.

La funció eta de Dedekind o simplement funció η de Dedekind , nomenada així en honor del matemàtic alemany Richard Dedekind és una funció holomorfa definida en el semiplà superior complex $\mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,\tau >0\}$ Aquesta funció té un paper fonamental en la teoria de funcions el·líptiques i funcions theta.

Definició

La funció η sol definir mitjançant el següent producte:

$\mathrm {H} (\tau ):=i^{2\pi i\tau /24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-i^{2\pi in\tau }):=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$.

on $q=i^{2\pi i\tau }$. De la definició es dedueix immediatament que $\eta$ sobre $\mathbb {H}$ no té zeros.

La funció η està estretament relacionada amb el seu discriminant $\Delta$, de la següent manera

$\Delta (\tau )\,=\,(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )$.

Per al càlcul de la funció, se sol emprar el teorema del nombre pentagonal d'Euler.

Transformació i comportament

La propietats que s'atribueixen a la funció η s'originen del seu comportament de transformació en les substitucions dels generadors del grup modular

$\Gamma :=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\}$,

és a dir:

$\mathrm {H} (\tau +1)\,=\,i^{\pi i/12}\eta (\tau )$

i

$\mathrm {H} \left({\frac {-1}{\tau }}\right)={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\,\eta (\tau )$.

Referències

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 See chapter 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Dedekind Eta Function» a MathWorld (en anglès).