Sèrie hipergeomètrica

En matemàtiques, una sèrie hipergeomètrica és una sèrie de potències on el k-èsim coeficient de la sèrie és una funció racional de k. Si la sèrie convergeix, defineix una funció hipergeomètrica, el seu domini és qualsevol subconjunt dels nombres complexos. Generalment, aquestes funcions hipergeomètriques es representen mitjançant la notació _pF_q(a₁,a₂,... ;b₁, b₂,...;z). El primer cas estudiat correspon a la sèrie hipergeomètrica ordinària o gaussiana ₂F₁(a,b;c;z), que va ser estudiada sistemàticament per Carl Friedrich Gauss, tot i que anteriorment, Leonhard Euler ja havia estudiat aquest tipus d'estructura.(Gauss (1813))

Definició

De la forma més general, es formula de la següent manera:

$\,_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\ldots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}\,$

on: $(a)_{n}=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\,$ es el símbol de Pochhammer.

Convergència

Hi ha certs valors de a_j i b_k per als quals el numerador o el denominador dels coeficients és 0.

• Si qualsevol a_j és un enter negatiu (0, −1, −2, etc.) llavors la sèrie tan sols té un nombre finit de termes, i és, de fet, un polinomi de grau -a_j.
• Si qualsevol b_k és un enter negatiu (exceptuant el cas previ amb -b_k < a_j) llavors els denominadors es fan 0 i la sèrie és indefinida.

Exceptuant aquests casos, el Criteri de d'Alembert pot ser aplicat i determina el radi de convergència.

• Si p=q+1 llavors el ratio dels coeficients s'aproxima a 1. Això implica que el radi de convergència és 1.
• Si p≤q llavors el ratio dels coeficients s'aproxima a 0. Això implica que el radi de convergència és infinit.
• Si p>q+1 llavors el ratio dels coeficients tendeix a infinit. Això implica que el radi de convergència és 0 i la sèrie no defineix una funció analítica.

La qüestió de convergència per a p=q+1 quan z està en el cercle unitari és més difícil. Está demostrat que le sèrie convergeix absolutament en z=1 si

$\Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0$.

Aplicacions

Les funcions hipergeomètriques formen una vasta família de funcions que inclouen entre d'altres a les funcions de Bessel, la funció Gamma incompleta, la funció error, integrals el·líptiques i polinomis ortogonals. El que fa que això sigui així, és degut al fet que les funcions hipergeomètriques són solucions d'una classe molt general d'equacions diferencials ordinàries de segon ordre: les equacions diferencials hipergeomètriques.

Vegeu també

• Sèrie matemàtica

Bibliografia

• Gauss, Carl Friedrich «Disquisitiones generales circa seriam infinitam $1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}$» (en llatí). Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores [Göttingen], 2, 1813. (El manuscrit original de Gauss pot ser trobat en Carl Friedrich Gauss Werke, p. 125)

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Confluent Hypergeometric Limit Function» a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «Generalized Hypergeometric Function» a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «Hypergeometric Function» a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «Confluent Hypergeometric Function of the First Kind» a MathWorld (en anglès).