Funció logarítmica convexa

En matemàtiques, una funció $f$ definida en un subconjunt convex d'un espai vectorial real i prenent valors positius es diu que és logarítmicament convexa o superconvexa si la composició de la funció logarítmica amb $f$, ${\log }\circ f$, és una funció convexa; el logaritme retarda dràsticament el creixement de la funció original $f$, de manera que si la composició encara conserva la propietat de convexitat això significa que la funció original $f$ era «realment convexa», d'aquí el terme «superconvexa».

Una funció logarítmica convexa $f$ és una funció convexa, ja que és el compost de la funció convexa creixent $\exp$ i de la funció $\log \circ f$, que se suposa que és convex. Però això no sempre és cert: per exemple $g:x\mapsto x^{2}$ és una funció convexa, però ${\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|$ no és una funció convexa i, per tant, $g$ no és logarítmicament convexa. Per altra banda, $x\mapsto e^{x^{2}}$ és logarítmicament convexa només si $x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}$ és convexa.

Un exemple important d'una funció logarítmica convexa és la funció gamma en els reals positius (vegeu també el teorema de Bohr-Mollerup).

Definició formal

Sigui $I$ un interval real i $f:I\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{*}$. Es diu que $f$ és logarítmicament convexa si, per a tots els punts $x,y$ de $I$ i tot $\lambda \in [0,1]$, existeix la desigualtat següent:

$\ln \left(f(\lambda x+(1-\lambda )y)\right)\leq \lambda \ln \left(f(x)\right)+(1-\lambda )\ln \left(f(y)\right)$,

o encara, prenent l'exponencial:

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \left(f(x)\right)^{\lambda }\left(f(y)\right)^{1-\lambda }$.

Igualment, $f$ és logarítmicament convexa si per a tot l'interval no trivial $[x,y]\subset I$, els reals $\beta ,\gamma >0$ determinats per $\gamma ^{x}f(x)=\gamma ^{y}f(y)=\beta$ verifiquen:

$\forall t\in [x,y]\quad \gamma ^{t}f(t)\leq \beta$.

Exemples

• Per a tot a > 0, l'exponencial de base a és logarítmicament convexa.
• La funció generadora de moments és logarítmicament convexa.
• Per a tota mesura μ (sobre un espai mesurable) i tota funció $f$ ∈ L^p(μ)∩L^q(μ) amb 0 < p < q, l'aplicació $r\mapsto \left\|f\right\|_{r}$ és logarítmicament convexa sobre [p, q].
• La funció gamma és logarítmicament convexa sobre $\mathbb {R} _{+}^{*}$. Una característica de la funció gamma per la log-convexitat, es donada pel teorema de Bohr-Mollerup.
• La funció zeta de Rieman és logarítmicament convexa sobre $\left]1,+\infty \right[$.

Una caracterització

$f$ és logarítmicament convexa si, i només si, per a tot $c>0$, l'aplicació $t\mapsto c^{t}f(t)$ és convexa.

Fixem un interval no trivial $[x,y]\subset I$ i demostrem, per a tot $t\in [x,y]$, l'equivalència $P(t)\Leftrightarrow Q(t)$, on els predicats $P,Q$ tradueixen la convexitat logarítmica de $f$ i la convexitat de $s\mapsto c^{s}f(s)$ per a tot $c>0$ :

$P(t):\quad \gamma ^{t}f(t)\leq \beta ,\qquad Q(t):\quad \forall c>0\quad c^{t}f(t)\leq a_{c}t+b_{c}$,

els reals $\beta ,\gamma >0,a_{c},b_{c}$ estan determinats per

$\gamma ^{x}f(x)=\gamma ^{y}f(y)=\beta ,\quad c^{x}f(x)=a_{c}x+b_{c}{\text{ et }}c^{y}f(y)=a_{c}y+b_{c}.$

• $Q(t)\Rightarrow P(t)$ perquè $a_{\gamma }=0$ i $b_{\gamma }=\beta$.
• $P(t)\Rightarrow Q(t)$ perquè si $\gamma ^{t}f(t)\leq \beta$ llavors, per a tot $c>0$, $c^{t}f(t)\leq (c/\gamma )^{t}\beta \leq a_{c}t+b_{c}$, perquè $s\mapsto (c/\gamma )^{s}\beta$ és convexa i coincideix amb $s\mapsto a_{c}s+b_{c}$ als punts $s=x$ et $s=y$.

Propietats

• Tota funció logarítmicament convexa és convexa. En la funció inversa és fals, tal com mostra el contraexemple clàssic de la funció x ↦ x².
• La suma i el producte de dues funcions logarítmicament convexes són logarítmicament convexes. Aquestes dues propietats es dedueixen del fet que la suma de dues funcions convexes és convexa, usant l'equació funcional logarítmica per a l'estabilitat del producte i la caracterització anterior per a l'estabilitat de la suma.

Generalització a les funcions d'una variable vectorial

Sigui $E$ un espai vectorial real $C$ un convex de $E$. Una aplicació $f:C\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{*}$ s'anomena logarítmicament convexa si $\ln \circ f$ és convexa sobre C.

Les dues propietats anteriors s'estenen immediatament a aquest marc, ja que una funció és convexa sobre $C$ si, i només si, la seva «restricció» $t\mapsto f\left(tA+(1-t)B\right)$a tot el segment $[A,B]\subset C$ és una funció convexa de la variable real t ∈ [0, 1].

De la mateixa manera, és fàcil deduir de la caracterització anterior que una aplicació $f$ és logarítmicament convexa sobre est $C$ si, i només si, per a tota forma lineal $\varphi$ sobre $E$, l'aplicació $C\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \mathrm {e} ^{\varphi (x)}f(x)$ és convexa.

Bibliografia

• Artin, Emil. The Gamma function (en anglès). Dover, 2015. 
• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (en anglès). Cambridge University Press, 2004, p. 104-108. 
• Gourdon, Xavier. Les maths en tête (Maths pour M') : Analyse (en francès). Éditions Ellipses, 2008. ISBN 978-2-72983759-4. 
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste. Optimisation et analyse convexe (en francès). EDP Sciences, 2009. 

Vegeu també

• Funció logarítmica còncava
• Teorema dels tres cercles de Hadamard