Funció gamma múltiple

En matemàtiques, la funció gamma múltiple ($\Gamma _{N}$) és una generalització de la funció gamma d'Euler i la funció G-Barnes.

La funció gamma doble va ser estudiada per Barnes (1901). Al final d'aquest document s'esmenta l'existència de múltiples funcions gamma, que van ser generalitzades i estudiades en Barnes (1904).

La funció gamma doble ($\Gamma _{2}$) està estretament relacionada amb la funció q-gamma, i la funció gamma triple ($\Gamma _{3}$) està relacionada amb la funció gamma el·líptica.

Definició

Per a $\Re a_{i}>0$:

$\Gamma _{N}(w|a_{1},...,a_{N})=\exp \left({\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})|_{s=0}\right)$

on $\zeta _{N}$ és la funció zeta de Barnes (això difereix per una constant de la definició original de Barnes).

Propietats

Considerada com una funció meromorfa de $w$, $\Gamma _{N}(w|a_{1},...,a_{N})$ que no té zeros i que té els pols exactament en els valors de $w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}$ per a enters no negatius $n_{i}$,..., que són pols simples llevat que alguns d'aquests números coincideixen.

Fins a la multiplicació per l'exponencial d'un polinomi, és l'única funció meromorfa d'ordre finit amb aquests zeros i pols.

• $\Gamma _{0}(w|)={\frac {1}{w}}\ ,$
• $\Gamma _{1}(w|a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\,$
• $\Gamma _{N}(w|a_{1},...,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w|a_{1},...,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}|a_{1},...,a_{N})\ .$

La funció de doble gamma i la teoria de camp de conformitat

Per a $\Re b>0$ i $Q=b+b^{-1}$, la funció

$\Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w|b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}|b,b^{-1}\right)}}\,$

és invariable a sota $b\to b^{-1}$, i obeeix les relacions

$\Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .$

Per a $\Re w>0$, té la representació integral

$\log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .$

Per a la funció $\Gamma _{b}(w)$, és possible definir les dues funcions

$S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .$

Aquestes funcions obeeixen a les relacions

$S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\,$

a més de les relacions que s'obtenen per $b\to b^{-1}$.

Per a $0<\Re w<\Re Q$ tenen representacions integrals

$\log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,$

$\log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .$

Les funcions $\Gamma _{b},S_{b}$ i $\Upsilon _{b}$ apareixen en funcions de correlació de la teoria de camp de conformitat bidimensional, amb el paràmetre $b$ estant relacionat amb la càrrega central de l'àlgebra de Virasoro subjacent. En particular, la funció de tres punts de la teoria de Liouville està escrita en funció de la funció $\Upsilon _{b}$.

Referències

• Barnes, E. W. «The Genesis of the Double Gamma Functions». Proc. London Math. Soc., s1-31, 1899, p. 358–381. DOI: 10.1112/plms/s1-31.1.358.
• Barnes, E. W. «The Theory of the Double Gamma Function. [Abstract]». Proceedings of the Royal Society of London. The Royal Society, 66, 1899, p. 265–268. DOI: 10.1098/rspl.1899.0101. ISSN: 0370-1662.
• Barnes, E. W. «The Theory of the Double Gamma Function». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. The Royal Society, 196, 1901, p. 265–387. DOI: 10.1098/rsta.1901.0006. ISSN: 0264-3952.
• Barnes, E. W. «On the theory of the multiple gamma function». Trans. Cambridge Philos. Soc., 19, 1904, p. 374–425.
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon «Shintani–Barnes zeta and gamma functions». Advances in Mathematics, 187, 2, 2004, p. 362–395. DOI: 10.1016/j.aim.2003.07.020. ISSN: 0001-8708.
• Ruijsenaars, S. N. M. «On Barnes' multiple zeta and gamma functions». Advances in Mathematics, 156, 1, 2000, p. 107–132. DOI: 10.1006/aima.2000.1946. ISSN: 0001-8708.