Funció zeta de Barnes

En matemàtiques, una funció zeta de Barnes és una generalització de la funció zeta de Riemann introduït per Ernest William Barnes (1901). Ell la va generalitzar encara més per la funció zeta de Shintani.

Definició

La funció zeta de Barnes es defineix per

$\zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}$

on w i a_j tenen la part real positiva i s té la part real major que N.

Té una continuació meromorfa en tots els s complexos, on les úniques singularitats són pols simples en s = 1, 2, ..., N.

Per a N = w = a₁ = 1, és la funció zeta de Riemann.

Referències

• Barnes, E. W. «The Theory of the Double Gamma Function. [Abstract]». Proceedings of the Royal Society of London. The Royal Society, 66, 1899, p. 265–268. DOI: 10.1098/rspl.1899.0101. ISSN: 0370-1662.
• Barnes, E. W. «The Theory of the Double Gamma Function». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. The Royal Society, 196, 1901, p. 265–387. DOI: 10.1098/rsta.1901.0006. ISSN: 0264-3952.
• Barnes, E. W. «On the theory of the multiple gamma function». Trans. Cambridge Philos. Soc., 19, 1904, p. 374–425.
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon «Shintani–Barnes zeta and gamma functions». Advances in Mathematics, 187, 2, 2004, p. 362–395. DOI: 10.1016/j.aim.2003.07.020. ISSN: 0001-8708.
• Ruijsenaars, S. N. M. «On Barnes' multiple zeta and gamma functions». Advances in Mathematics, 156, 1, 2000, p. 107–132. DOI: 10.1006/aima.2000.1946. ISSN: 0001-8708.