Identitat de Mingarelli

En el camp de les equacions diferencials ordinàries, la identitat de Mingarelli és un teorema que proporciona criteris per a l'oscil·lació i la no-oscil·lació de solucions d'algunes equacions diferencials lineals en el domini real. Estén la identitat de Picone de dues a tres o més equacions diferencials de segon ordre.

La identitat

Considerem les $n$ solucions del següent sistema (desacoblat) d'equacions diferencials lineals de segon ordre durant l'interval $t$ $[a,b]$:

$(p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}$ on $i=1,2,\ldots ,n$.

Fem que $\Delta$ denoti l'operador de diferència cap endavant, és a dir,

$\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}.$

L'operador de diferència de segon ordre es troba iterant l'operador de primer ordre com a

$\Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i},$,

amb una definició similar per a les iteracions més altes. Deixant de banda la variable independent $t$ per conveniència, i suposant que $x_{i}(t)\neq 0$ en $(a,b]$, hi ha la identitat:

${\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}$

on

• $r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}$ és la derivada logarítmica,
• $W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }$, és el determinant Wronskià,
• $C(n-1,k)$ són coeficients binomials.

Quan $n=2$, aquesta igualtat es redueix a la identitat de Picone.

Aplicacions

La identitat anterior condueix ràpidament al següent teorema de comparació per a tres equacions diferencials lineals, que amplia el clàssic teorema de comparació de Sturm-Picone.

Fem que $p_{i}$, $q_{i}$ $i=1,2,3$, siguin funcions contínues de valor real en l'interval $[a,b]$ i fem que:

1. $(p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}$
2. $(p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}$
3. $(p_{3}(t)x_{3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}$

siguin tres equacions diferencials lineals homogènies de segon ordre en forma autoadjunta, on

• $p_{i}(t)>0$ per a cada $i$, i per a tot $t$ en $[a,b]$, i
• $R_{i}$ són nombres reals arbitraris.

Suposem que per a tot $t$ en $[a,b]$ tenim,

$\Delta ^{2}(q_{1})\geq 0$,

$\Delta ^{2}(p_{1})\leq 0$,

$\Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0$.

Llavors, si $x_{1}(t)>0$ en $[a,b]$ i $x_{2}(b)=0$, llavors qualsevol solució $x_{3}(t)$ té almenys un zero en $[a,b]$.

Bibliografia

• Clark, D.N.; Pecelli, G.; Sacksteder, R. Contributions to Analysis and Geometry (en anglès). Baltimore, USA: Johns Hopkins University Press, 1981, p. ix+357. ISBN 0-80182-779-5. 
• Mingarelli, Angelo B. «Some extensions of the Sturm–Picone theorem» (en anglès). Comptes Rendus Mathématique. The Royal Society of Canada [Toronto, Ontario, Canada], 1(4), 1979, pàg. 223–226.