De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
La identitat dels quatre quadrats d'Euler és una identitat vàlida en un anell commutatiu . Afirma que:
(
−
a
w
+
b
x
+
c
y
+
d
z
)
2
+
(
a
x
+
b
w
+
c
z
−
d
y
)
2
+
(
a
y
−
b
z
+
c
w
+
d
x
)
2
+
(
a
z
+
b
y
−
c
x
+
d
w
)
2
=
{\displaystyle (-aw+bx+cy+dz)^{2}+(ax+bw+cz-dy)^{2}+(ay-bz+cw+dx)^{2}+(az+by-cx+dw)^{2}=\,}
a
2
w
2
+
b
2
w
2
+
c
2
w
2
+
d
2
w
2
+
a
2
x
2
+
b
2
x
2
+
c
2
x
2
+
d
2
x
2
+
a
2
y
2
+
b
2
y
2
+
c
2
y
2
+
d
2
y
2
+
a
2
z
2
+
b
2
z
2
+
c
2
z
2
+
d
2
z
2
=
{\displaystyle a^{2}w^{2}+b^{2}w^{2}+c^{2}w^{2}+d^{2}w^{2}+a^{2}x^{2}+b^{2}x^{2}+c^{2}x^{2}+d^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}y^{2}+d^{2}y^{2}+a^{2}z^{2}+b^{2}z^{2}+c^{2}z^{2}+d^{2}z^{2}=\,}
(
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
)
(
w
2
+
x
2
+
y
2
+
z
2
)
{\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})\,}
En particular, la identitat permet concloure que qualsevol nombre enter positiu es pot escriure com suma al més quatre quadrats si i només si cada primer pot ser escrit d'aquesta forma. Aquest resultat és atribuït a Lagrange .
Euler va escriure sobre aquesta identitat a Christian Goldbach en una carta datada el 4 de maig de 1748.[ 1] [ 2]
↑ Leonhard Euler: Life, Work and Legacy , R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193↑ Mathematical Evolutions , A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174
