Lema d'Itô
En matemàtiques, el lema d'Itô o fórmula d'Itô (també anomenada fórmula Itô-Doeblin, especialment en la literatura francesa) és una identitat utilitzada en el càlcul d'Itô per trobar el diferencial d'una funció dependent del temps d'un procés estocàstic. Serveix com a contrapartida del càlcul estocàstic de la regla de la cadena. Es pot derivar heurísticament formant l'expansió de la sèrie de Taylor de la funció fins a les seves segones derivades i conservant termes fins al primer ordre en l'increment de temps i el segon ordre en l'increment del procés de Wiener. El lema s'utilitza àmpliament en finances matemàtiques, i la seva aplicació més coneguda és en la derivació de l'equació de Black-Scholes per als valors d'opcions.[1]
Motivació
[modifica]Suposem que tenim l'equació diferencial estocàstica [2]on Bt és un procés de Wiener i les funcions són funcions deterministes (no estocàstiques) del temps. En general, no és possible escriure una solució directament en termes de Tanmateix, formalment podem escriure una solució integral [3]
Aquesta expressió ens permet llegir fàcilment la mitjana i la variància de (que no té moments superiors). En primer lloc, observeu que cada individualment té una mitjana 0, de manera que el valor d'expectativa de és simplement la integral de la funció de deriva:De la mateixa manera, perquè el els termes tenen variància 1 i no hi ha correlació entre si, la variància de és simplement la integral de la variància de cada pas infinitesimal en la marxa aleatòria:
![{\displaystyle \mathrm {E} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\mu _{s}\ ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e53226b7178e001e4637aca15af9333ffc657b1)
Tanmateix, de vegades ens trobem davant d'una equació diferencial estocàstica per a un procés més complex en què el procés apareix als dos costats de l'equació diferencial. És a dir, diguemper a algunes funcions i En aquest cas, no podem escriure immediatament una solució formal com vam fer per al cas més senzill anterior. En canvi, esperem escriure el procés en funció d'un procés més senzill prenent el formulari anterior. És a dir, volem identificar tres funcions i de tal manera que i A la pràctica, s'utilitza el lema d'Ito per trobar aquesta transformació. Finalment, un cop hem transformat el problema en el tipus més simple de problema, podem determinar els moments mitjans i superiors del procés.[4]
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X_{t}]=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\ ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bbb1ad99a2a0e0b9e5a6ab3102ce4d7506699d)
Referències
[modifica]- ↑ «Ito's Lemma | QuantStart» (en anglès). https://www.quantstart.com.+[Consulta: 24 agost 2023].
- ↑ «Lesson 4, Ito’s lemma» (en anglès). https://math.nyu.edu.+[Consulta: 23 agost 2023].
- ↑ Weisstein, Eric W. «Ito's Lemma» (en anglès). [Consulta: 24 agost 2023].
- ↑ «Itˆo calculus in a nutshell» (en anglès). https://quantum.phys.cmu.edu.+[Consulta: 23 agost 2023].