Vés al contingut

Lema dels nuclis

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En àlgebra lineal, el lema dels nuclis, també anomenat teorema de descomposició dels nuclis, és un resultat sobre reduccions d'endomorfismes. En un espai vectorial E sobre un cos K, si un operador u de E s'anul·la per un polinomi P(X) a coeficients dins K, aleshores aquest lema afirma que existeix una descomposició de E com a suma directa de subespais invariants per u. Aquests subespais invariants es defineixen com a nuclis de polinomis en u, i les projeccions corresponents també són polinomis en u.[1]

La demostració trasllada la identitat de Bézout per polinomis a subespais vectorials. Com a resultat fonamental, el lema dels nuclis porta a la descomposició de Jordan–Chevalley i a la forma canònica de Jordan. De forma més simple, el lema dels nuclis apunta que un operador u és diagonalitzable si s'anul·la per un polinomi amb arrels simples.

Enunciat

[modifica]

Sigui un espai vectorial sobre un cos commutatiu i sigui un endomorfisme de . Si (amb ) són primers dos a dos, llavors els subespais vectorials (on ) estan en suma directa, i

A més, la projecció de la suma directa sobre paral·lelament a és la restricció de per un polinomi Qi.


Lema dels nuclis

Demostració

[modifica]

Reducció al cas n = 2

[modifica]

Primerament, mostrarem per recurrència sobre que, si el lema és cert per , llavors també és cert per tot . Pel cas no hi ha res a demostrar (la projecció mencionada és la identitat, que és amb Q el polinomi constant 1). Si , escrivim i llavors , d'on és primer amb (ja que, per la identitat de Bézout per polinomis, cadascun dels factors de és invertible mòdul , i per tant també ho és el seu producte ). El cas ens diu que , amb les projeccions corresponents donades per polinomis en l'endomorfisme f; la hipòtesi d'inducció ens permet descompondre com a suma directa dels per , i les projeccions de sobre aquests factors es componen amb la projecció sobre per donar finalment les projeccions desitjades .

Cas n = 2

[modifica]

Es pot veure de forma senzilla que l'espai conté els espais per , i per tant també conté la seva suma; ara es tracta de demostrar que la suma és directa, i que és igual a tot V (amb les projeccions polinòmiques en ). Per la identitat de Bézout, existeixen tals que , i per tant (la funció identitat de ). Notem que

,

i llavors i .

Per veure que la suma és directa, considerem . Tenim que , i la suma és, doncs, directa.

Per veure que , considerem . Tenim que amb , ja que

,

i similarment . D'aquí concloem que i, per tant, .

Finalment, les projeccions de sobre els factors són i : ja hem vist que la imatge de està continguda a , i que s'anul·la per l'altre factor; només resta veure que és la identitat sobre . Per tenim que , cosa que volíem demostrar.

Aplicacions

[modifica]

El lema dels nuclis és útil per reduir endomorfismes. Per exemple:

Sigui un espai vectorial de dimensió finita sobre un cos i sigui un endomorfisme de . Sigui un polinomi anul·lador de (per exemple, el seu polinomi mínim, o el seu polinomi característic, pel teorema de Cayley-Hamilton) i sigui la factorització de en els polinomis irreductibles i diferents. Llavors existeix una base de i existeixen matrius tals que

on (de fet, la part de corresponent al bloc és una base de ), i .


Reducció a una forma diagonal per blocs

Referències

[modifica]