Vés al contingut

Llei de Morrie

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

La llei de Morrie és una identitat trigonomètrica singular. El seu nom s'atribueix al físic Richard Feynman, que solia referir-se a aquesta identitat amb aquest nom. Feynman va triar aquest nom perquè la va aprendre durant la seva infantesa a través d'un noi anomenat Morrie Jacob i la va recordar tota la seva vida.[1]

Identitat i generalització

[modifica]

És un cas especial de la identitat, més general,

amb n = 3 i α = 20° i el fet que

ja que

Identitats similars

[modifica]

També existeix una identitat similar amb la funció sinus:

A més, si es divideix la segona identitat per la primera, s'obté:

Demostració

[modifica]

Demostració geomètrica de la llei de Morrie

[modifica]
Enneàgon regular amb el centre de la seva circumferència circumscrita . Calculant els angles:



Consideri's l'enneàgon regular amb costat de longitud i sigui el punt mig del costat , el punt mig de i el punt mig del costat . Els angles interiors de l'enneàgon són tots de i a més , i (vegeu la figura). Aplicant la definició del cosinus en els triangles rectangles , i s'obté una demostració de la llei de Morrie:[2]

Demostració algebraica de la identitat generalitzada

[modifica]

Recordeu la fórmula de l'angle doble per a la funció sinus

Si s'aïlla

Segueix:

Si es multipliquen totes aquestes expressions juntes s'obté:

Els numeradors i denominadors del mig s'anul·len deixant només el primer denominador, una potència de 2 i el numerador final. Noti's que hi ha n termes en tots dos costats de l'expressió. És a dir,

que és equivalent a la generalització de la llei de Morrie.

Referències

[modifica]
  1. W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43–44, 1996. (JSTOR)
  2. Samuel G. Moreno, Esther M. García-Caballero: "'A Geometric Proof of Morrie's Law". In: American Mathematical Monthly, vol. 122, no. 2 (February 2015), p. 168 (JSTOR)

Bibliografia complementària

[modifica]
  • Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, ISBN 9780192545466, pp. 79-83
  • Ernest C. Anderson: Morrie's Law and Experimental Mathematics. In: Journal of recreational mathematics, 1998

Enllaços externs

[modifica]