Mètode de diferències finites

En anàlisi numèrica, el mètode de les diferències finites és un mètode utilitzat per calcular de manera aproximada les solucions a les equacions diferencials usant equacions diferencials finites per aproximar derivades.

Exemple bàsic d'equació de diferències finites en economia

Una equació senzilla en diferències finites

$\ Y_{t+2}-Y_{t}=0$

La solució s'assaja per tempteig o aproximació

$\ Y_{t+2}=r^{2}$

$\ Y_{t}=r$

Substituint en l'equació inicial

$\ R(r-1)=0\rightarrow r=1;r=0$

La solució serà

$\ Y_{t}=1^{t}$

Resolem $i_{t+2}$

$\ Y_{t+2}=1^{t+2}=1^{t}1^{2}$

Comprovem si la solució és correcta

$\ 1^{t}-1^{t}=0$

Escrivim la solució general

$\ Y_{t}=c_{1}1^{t}$

$c_{1}$ expressa una combinació lineal de la solució
Si analitzem el Wronskià de solucions particulars obtindrem per t = 0 i t = 1

$A(0,1)={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\\\end{bmatrix}}=1-1=0$

Si el Wronskià és zero, no podem determinar una solució correcta.
El mètode per resoldre

$\ Y''-i'=0$

és idèntic però la solució general s'escriu en funció del nombre e.

Bibliografia

• K.W. Morton i D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction . Cambridge University Press, 2005.
• Oliver Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction] , (2006), Albert Ludwigs Universitat de Friburg
• Autar Kaw i E. Eric Kalu (2008) Numerical Methods with Applications

Enllaços externs

Recursos sobre el mètode de les diferències finites per PDES]

• Finite Difference Method of Solving ODE (Boundary Value Problems) Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica