Notació multi-índex

La notació multi-índex és una notació matemàtica que simplifica les fórmules utilitzades en el càlcul multivariable, les equacions diferencials parcials i la teoria de les distribucions, generalitzant el concepte d’un índex enter en una N-pla ordenada d’índexs.

Definició i propietats bàsiques

Un índex múltiple n- dimensional és una n - tupla

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$

de nombres enters no negatius (és a dir, un element del conjunt n - dimensional de nombres naturals, denotat $\mathbb {N} _{0}^{n}$).

Per a índexs múltiples $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ i $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ es defineix:

Suma i diferència per components

$\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

Ordre parcial

$\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$

Suma de components (valor absolut)

$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$

Factorial

$\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$

Coeficient binomial

${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}$

Coeficient multinomial

${\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}$

on $k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}$ .

Potència

$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$ .

Derivada parcial d’ ordre superior

$\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}$

on $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$ (vegeu també 4 gradients). De vegades la notació $D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }$ també s’utilitza.

Algunes aplicacions

La notació multi-índex permet l'extensió de moltes fórmules des del càlcul elemental fins al cas multivariable corresponent. A continuació en detallem alguns exemples. En tot el següent, $x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}$ (o $\mathbb {R} ^{n}$), $\alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}$, i $f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ (o $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$).

Teorema multinomial

${\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }$

Teorema multi-binomial

$(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$

Tingueu en compte que, atès que x+y és un vector i α és un índex múltiple, l'expressió de l'esquerra és curta per (x₁+y₁)^α₁...(x_n+y_n)^α_n .

Fórmula de Leibniz

Per a funcions fluixes f i g

$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.$

Sèrie de Taylor

Per a una funció analítica f en n variables es té

$f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.$

De fet, per a una funció prou suau, tenim l' expansió similar de Taylor

$f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),$

on l'últim terme (el que queda) depèn de la versió exacta de la fórmula de Taylor. Per exemple, per a la fórmula de Cauchy (amb resta integral), s'obté

$R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.$

Operador diferencial parcial

Un operador diferencial parcial d'ordre N lineal formal en n variables s'escriu com

$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.$

Integració per parts

Per a funcions fluides amb suport compacte en un domini limitat $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ un té

$\int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.$

Aquesta fórmula s’utilitza per a la definició de distribucions i derivats febles.

Un teorema d’exemple

Si $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ són multiíndexs i $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, doncs

$\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}$

Demostració

La demostració es desprèn de la regla de potència per a la derivada ordinària ; si α i β són a {0, 1, 2, . . .}, doncs

${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)$

Suposem $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$, $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$, i $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$. Llavors tenim això

${\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$

Per a cada i de {1, . . ., n }, la funció $x_{i}^{\beta _{i}}$ només depèn de $x_{i}$. A l’anterior, cada diferenciació parcial $\partial /\partial x_{i}$ per tant, es redueix a la diferenciació ordinària corresponent $d/dx_{i}$. Per tant, de l'equació (1) se’n desprèn $\partial ^{\alpha }x^{\beta }$ s'esvaeix si α _i > β _i per almenys un i a {1, . . ., n }. Si no és el cas, és a dir, si α ≤ β com a índexs múltiples, doncs

${\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}$

per cada $i$ i. el teorema segueix. $\Box$

Vegeu també

• Notació d'Einstein
• Trinomi
• Expansió trinomial

Referències

• Saint Raymond, Xavier (1991). Introducció elemental a la teoria dels operadors pseudodiferencials. Cap 1.1. CRC Press.ISBN 0-8493-7158-9ISBN 0-8493-7158-9

• Aquest article incorpora material derivat d'un índex múltiple d'una potència a PlanetMath, que està llicenciat sota la llicència Creative Commons Reconeixement / Compartir-Igual.