Octàgon

Octàgon

Tipus	polígon i octàtop
Forma de les cares	aresta (8)
Configuració de vèrtex	segment
Elements
Vèrtexs	8
Arestes	8
Sèrie
← heptàgon enneàgon →
Més informació
MathWorld	Octagon

Octàgon regular

En geometria, un octàgon és un polígon amb vuit costats i vuit angles. El nom prové del del grec ὀκτάγωνον via el llatí. Un octàgon té 20 diagonals i la suma de tots els angles interiors és 1080 graus o $6\pi$ radians.

Octàgon regular

La construcció d'un octàgon regular amb regle i compàs és possible. L'animació mostra com fer-la, seguint els passos de l'1 fins al 18, i tenint en compte que el radi del compàs no varia entre els passos 7 i 10.

En un octàgon regular, tots els costats i angles del qual són iguals. Els costats s'uneixen formant un angle de 135º o $3\pi /4$ rad. Cada angle exterior és de 45° o $\pi /4$ rad.

Perímetre

El perímetre de l'octàgon regular de costat $L$ és

$P=6\cdot L$

O bé, en funció de l'apotema, $a_{p}$,

$P=16\cdot a_{p}\cdot {\frac {\sin(22.5^{\circ })}{\sin(67.5^{\circ })}}=16\cdot a_{p}\cdot \tan(\pi /8)\approx a_{p}\cdot 6.62747$

Apotema

L'apotema de l'octàgon regular de costat $L$ és

$a_{p}={\frac {L}{2}}\cdot {\frac {\sin(67.5^{\circ })}{\sin(22.5^{\circ })}}={\frac {L}{2}}\cdot \cot(\pi /8)\approx L\cdot 1.20711$

Àrea

L'àrea de l'octàgon regular de costat $L$ i apotema $a_{p}$ és

$A=4\cdot a_{p}\cdot L$

O bé, només en funció del costat, $L$,

$A=2\cdot L^{2}\cdot {\frac {\sin(67.5^{\circ })}{\sin(22.5^{\circ })}}=2\cdot L^{2}\cdot \cot(\pi /8)\approx L^{2}\cdot 4.82843$

O també, només en funció de l'apotema, $a_{p}$,

$A=8\cdot a_{p}^{2}\cdot {\frac {\sin(22.5^{\circ })}{\sin(67.5^{\circ })}}=8\cdot a_{p}^{2}\cdot \tan(\pi /8)\approx a_{p}^{2}\cdot 3.31371$

L'octàgon regular té símbol de Schläfli {8}.

Al dia a dia

• 
  Els paraigües solen tenir forma vuitavada.

Figures geomètriques derivades

• 
  El polígon estrellat de 8 vèrtexs anomenat octagram, {8/3} en símbol de Schläfli, està comprès per un octàgon regular.
• 
  La figura de vèrtex del políedre uniforme, gran dirhombicosidodecaèdre té la forma d'octagon irregular.
• 
  Les bases d'un prisma octagonal són octàgons.
• 
  Un mosaic amb dos octàgons a cada vèrtex.
• 
  El cuboctàedre truncat conté 6 cares octagonals.
• 
  Les bases d'un antiprisma octagonal són octàgons.

Referències

Viccionari