Producte Moyal

En matemàtiques, el producte de Moyal (després de Joe Moyal; també anomenat producte estrella o producte de Weyl–Groenewold, després de Hermann Weyl i Hilbrand J. Groenewold) és un exemple de producte estrella de fase-espai. És un producte associatiu, no commutatiu, ★, sobre les funcions on $\mathbb {R} ^{2n}$, equipat amb el seu suport de Poisson (amb una generalització a varietats simplèctiques, descrit a continuació). És un cas especial del producte ★ de l'"àlgebra de símbols" d'una àlgebra d'embolcall universal.

Comentaris històrics

El producte Moyal rep el nom de Joe Moyal, però de vegades també s'anomena producte Weyl–Groenewold tal com va ser introduït per HJ Groenewold a la seva tesi doctoral de 1946, en una apreciació contundent de la correspondència de Weyl. De fet, sembla que Moyal no coneixia el producte en el seu famós article i el va mancar de manera crucial en la seva correspondència llegendària amb Dirac, tal com s'il·lustra a la seva biografia. El popular nom de Moyal sembla haver sorgit només als anys setanta, en homenatge a la seva imatge plana de quantificació de l'espai de fase.

Definició

El producte per a funcions suaus f i g on $\mathbb {R} ^{2n}$ pren la forma $$f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),$$ on cada C_n és un determinat operador bi diferencial d'ordre n caracteritzat per les propietats següents (vegeu a continuació una fórmula explícita):

• Deformació del producte puntual — implícita en la fórmula anterior.
• Deformació del bracket de Poisson, anomenat claudàtor Moyal.
• L'1 de l'àlgebra no deformada també és la identitat de la nova àlgebra.
• El complex conjugat és un antiautomorfisme antilineal.

Tingueu en compte que, si es vol prendre funcions valorades en nombres reals, llavors una versió alternativa elimina la i en la segona condició i elimina la quarta condició.

Si es restringeix a les funcions polinomials, l'àlgebra anterior és isomòrfica a l'àlgebra de Weyl A_n, i les dues ofereixen realitzacions alternatives del mapa de Weyl de l'espai de polinomis en n variables (o l'àlgebra simètrica d'un espai vectorial de dimensió 2n).

Per proporcionar una fórmula explícita, considereu un bivector de Poisson constant Π on $\mathbb {R} ^{2n}$ : $$\Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},$$ on Π^ij és un nombre real per a cada i, j. El producte estrella de dues funcions f i g es pot definir com l'operador pseudo-diferencial que actua sobre ambdues, $$f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\partial _{i}\partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,$$ on ħ és la constant de Planck reduïda, tractada aquí com un paràmetre formal.

Exemples

Un exemple senzill i explícit de la construcció i utilitat del producte ★ (per al cas més simple d'un espai de fase euclidià bidimensional) es dóna a l'article sobre la transformada de Wigner-Weyl: dos gaussians es componen amb aquest producte ★ segons una llei tangent hiperbòlica:

$$\exp \left[-a\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}\left(x^{2}+p^{2}\right)\right].$$(Cal tenir en compte el límit clàssic, ħ → 0.) Tota prescripció de correspondència entre l'espai de fase i l'espai de Hilbert, però, indueix el seu propi producte ★).

S'observen resultats similars a l'espai de Segal–Bargmann i a la representació theta del grup de Heisenberg, on s'entén que els operadors de creació i aniquilació a^∗ = z i a = ∂/∂z actuen en el pla complex (respectivament, la part superior semipla per al grup de Heisenberg), de manera que els operadors de posició i moment estan donats per x = (a + a^∗)/2 i p = (a - a^∗)/(2i). Aquesta situació és clarament diferent del cas en què les posicions es prenen com a valor real, però ofereix informació sobre l'estructura algebraica global de l'àlgebra de Heisenberg i el seu embolcall, l'àlgebra de Weyl.