Radi de convergència

En matemàtiques, el radi de convergència d'una sèrie de potències enteres segons el teorema de Cauchy-Hadamard ve donat per l'expressió:

$R={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}}$

Definició

Si hom es limita al conjunt dels nombres reals, una sèrie de la forma $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$ , amb $a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R}$ , rep el nom de sèrie de potències centrada en $x_{0}$ . La sèrie convergeix absolutament per a un conjunt de valors d' $x$ que verifica que $|x-x_{0}|<r$ , on r és un nombre real anomenat radi de convergència de la sèrie. Aquesta convergeix, doncs, si més no, per als valors d' $X$ pertanyents a l'interval $(x_{0}-r,$ $x_{0}+r)$ , ja que la convergència per als extrems d'aquest ha d'estudiar a part, de manera que l'interval real de convergència pot ser també semiobert o tancat. Si la sèrie convergeix només per $x_{0}$ , $r=0$ . Si ho fa per qualsevol valor d' $x$ , $r=$ $\infty \,\!$

Exemples

Mostrarem el radi de convergència d'alguns desenvolupaments en sèries de potències amb els seus respectius radis de convergència sense justificar perquè el radi de convergència és el que s'indica.

Radi de convergència finit

La funció $1/(1-x)$ en el seu desenvolupament amb centre 0, és a dir, en sèries de potències $x-x_{0}=x-0=x$ , té el següent aspecte:

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}...$ .

(Per al càlcul de la sèrie vegi sèrie de Taylor). El seu radi de convergència és $r=1$ . Això significa que per a calcular si prenc qualsevol valor la distància al $x_{0}=0$ és menor que $r=1$ , per exemple si $x=0,25$ , llavors en reemplaçar en la sèrie el resultat de calcular la sèrie serà el mateix que reemplaçar en la funció, de fet

$\sum _{n=0}^{\infty }0,25^{n}=1+0,25+0,25^{2}+0,25^{3}...={\frac {4}{3}}$ .

(El compte es pot fer per sèrie de potències). I d'altra banda

${\frac {1}{1-0,25}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}$ .

Però si prenem un element fora del radi de convergència, per exemple el $x=2$ , al reemplaçar-lo en la sèrie, aquesta divergirà (per això el nom de radi de convergència). Efectivament:

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=1+2+2^{2}+2^{3}...=\infty$ .

Distància a la singularitat

El càlcul del radi de convergència no és simple. Vegem una funció amb dos desenvolupaments en sèrie amb diferents centres i analitzem els seus radis de convergència. La mateixa funció $1/(1-x)$ en el seu desenvolupament amb centre $x_{0}=3$ té la forma:

${\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{2}}-{\frac {x-3}{4}}+{\frac {(x-3)^{2}}{8}}-{\frac {(x-3)^{3}}{16}}...$ .

Però en aquest cas el seu radi de convergència és $r=2$ . Notem que la funció $1/(1-x)$ té una singularitat en l'1, i que en els dos cas anteriors el radi de convergència coincideix amb la distància del centre a la singularitat: $|0-1|=1$ i $|3-1|=2$ . Això serà sempre veritable per a aquesta funció, però, no pot generalitzar-se, com veurem en el següent exemple:

${\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {x-1}{2}}+{\frac {(x-1)^{2}}{4}}-{\frac {(x-1)^{4}}{8}}+{\frac {(x-1)^{5}}{8}}-...$

Com que no hi ha singularitats reals podria suposar-se que el radi és infinit, però el seu radi de convergència és $r={\sqrt {2}}/2$ . Aquest radi sembla capritxós però té a veure amb el fet que passant la funció a domini complex, hi ha una singularitat en el denominador.

Radi de convergència infinit

Per exemple, la funció $e^{x}$ pot desenvolupar-se en sèries de potència de $x-0=x$ , de fet $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}/n!=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}...$ .

i això val per a tot real $x$ per això el radi de convergència serà infinit.

Convergència en el límit

Si la sèrie de potències s'expandeix al voltant del punt A i el radi de convergència és r, llavors el conjunt de tots els punts z tals que | z - a | = r és un cercle anomenat la frontera del disc de convergència. Una sèrie de potències pot divergir en cada punt de la frontera, o divergir en alguns punts de convergència i en altres punts, o convergir en tots els punts de la frontera. A més, encara que la sèrie convergeixi en el límit, no necessàriament convergeixi absolutament.

Exemple 1: La sèrie de potències per a la funció F(z) = (1 - z)⁻¹, es va expandint al voltant de z = 0, té un radi de convergència 1 i divergeix a cada punt de la frontera.

Exemple 2: La sèrie de potències per G(z) = ln (1 - z) té radi de convergència r = 1 i s'estén per tot z = 0, i divergeix per z = 1, però convergeix per a tots els altres punts de la frontera. F(z) en l'exemple 1 és la derivada de la negativa de G(z).

Exemple 3: La sèrie de potències

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}

té radi de convergència 1 i convergeix a tot arreu de la frontera. Si H(z) és la funció representada per aquesta sèrie, llavors la derivada de H(z) és G(z), dividit per Z en l'exemple 2.

Exemple 4: La sèrie de potències

\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ on }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ per }}2^{n-1}\leq i<2^{n}.

té radi de convergència 1 i convergeix uniformement a la frontera { |z| = 1}, però no convergeix absolutament a la frontera.

Comentaris sobre la ràtio de convergència

Si expandim la funció

f(x)=\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ per tot }}x

propers al punt x = 0, ens trobem que el radi de convergència d'aquestes sèries és $\scriptstyle \infty$ que significa que aquestes sèries convergeixen per tots els nombres complexos. Però, a la pràctica, ens pot interessar la precisió de l'Anàlisi numèrica. Tant el nombre de termes com el valor quan les sèries són avaluades afecten a l'exactitud de la resposta. Per exemple, si volem calcular ƒ(0.1) = sin(0.1) amb una exactitud de 5 decimals, només necessitem els dos primers termes de la sèrie. En canvi, si volem la mateixa precisió per x = 1, hem d'avaluar i sumar els 5 primers termes de la sèrie. Per ƒ(10), requerim 18 termes de les sèries, i per ƒ(100), necessitem avaluar 141 termes.

Així doncs la convergència més ràpida en una expansió de sèries de potències es troba al centre del radi de convergència, i si ens allunyem del radi de convergència, la ràtio de convergència es fa lent fins que arribes al límit (si existeix) i el travessa, en aquest cas les sèries divergeixen.

Vegeu també