Relació de Legendre

En matemàtiques, la relació de Legendre pot expressar-se en qualsevol de les dues formes: com a relació entre integrals el·líptiques completes, o com a relació entre els períodes i els quasi-períodes de les funcions el·líptiques. Les dues formes són equivalents a mesura que els períodes i els quasi-períodes es poden expressar en termes d'integrals el·líptiques completes. Es va introduir (per a integrals el·líptiques completes) per Legendre (1811) i Legendre (1825).

Integrals el·líptiques completes

La relació de Legendre indicada amb integrals el·líptiques completes és:

$K'E+KE'-KK'={\frac {\pi }{2}}$

on K i K′ són les integrals el·líptiques completes de primera espècie per a valors satisfactoris k² + k′² = 1, i E i E′ són les integrals el·líptiques completes de segona espècie.

Aquesta forma de relació de Legendre expressa el fet que el wronskià de les integrals el·líptiques completes (considerades com a solucions d'una equació diferencial) és una constant.

Funcions el·líptiques

La relació de Legendre indicada amb funcions el·líptiques és:

$\omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,$

on $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$ són els períodes de la funció el·líptica de Weierstrass, i $\eta _{1}$ i $\eta _{1}$ són els quasi-periods de la funció zeta de Weierstrass. Alguns autors les normalitzen d'una manera diferent per factors de 2, en aquest cas el costat dret de la relació de Legendre és $\pi i$ o $\pi i/2$. Aquesta relació es pot provar integrant la funció zeta de Weierstrass sobre el límit d'una regió fonamental i aplicant el teorema dels residus de Cauchy.

Bibliografia

• Duren, Peter. «The Legendre relation for elliptic integrals». A: Paul Halmos. Celebrating 50 years of mathematics. Nova York: Springer-Verlag, 1991, p. 305-315. DOI 10.1007/978-1-4612-0967-6_32. ISBN 0-387-97509-8. 
• Karatsuba, E. A.; Vuorinen, M. «On hypergeometric functions and generalizations of Legendre's relation» (en anglès). J. Math. Anal. Appl., 260(2), 2001, pàg. 623–640.
• Legendre, A.M.. Exercises de Calcul Integral (en francès). I, 1811. 
• Legendre, A.M.. Traite des Fonctions Elliptiques (en francès). I, 1825.