Resurgència

En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, en data del 6 de desembre 1918, la pregunta de si era possible que una sèrie de potències

$h(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(\xi -\xi _{0})^{k},$

representant una funció diferent de $\xi \mapsto ce^{\xi }$, admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat $\gamma$ al voltant de $\xi _{0}$ i, a la fi de la continuació, prengués la forma

$\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}(\xi -\xi _{0})^{k-1}=h^{\prime }(\xi ),$ és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?

La solució de Lewy

En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada.

Es consideri la funció: $h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-zt-(\log t)^{2}/4\pi i\right]\,dt;$ $h$ és holomorfa per $\Re (z)>0$ i pot ser continuada analíticament als semiplans $\Re (ze^{-i\vartheta })>0\ (\vartheta \in \mathbb {R} ^{+})$, de la manera següent: sigui $N\in \mathbb {N}$ tal que $0<\vartheta /N<\pi /2$ i fem $\eta :=\vartheta /N$.

Escrivim, per a $z\in \{\Re (ze^{-i\eta })>0\}\bigcup \{\Re (z)>0\}$,

$h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[ze^{-i\eta }e^{i\eta }t-{\frac {\log(e^{-i\eta }e^{i\eta }t)^{2}}{4\pi i}}\right]\,dt$

$=\int _{e^{i\eta }\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du$

$=\lim _{R\to \infty }\left\{\int _{0}^{R}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du+\right.$

$\ \qquad \left.+\int _{\gamma _{R}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-\displaystyle {\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du\right\}.$

Aquesta darrera integral, que anomenem $I_{2}$, ha de ser calculada sobre la corba $\gamma _{R}:[0,1]\rightarrow \mathbb {C}$ definida en posar $\gamma (t):=Re^{i\theta }$.

Hom ha $I_{2}\leq C_{1}R^{\alpha }e^{-C_{2}R}$ per a unes constants reals positives $C_{1}$, ${C_{2}}$ i ${\alpha }$, car $I_{2}$ tendeix a $0$ quan $R\to \infty$.

Així per a $z\in \{\Re (ze^{-i\eta })>0\}\bigcap \{\Re (z)>0\}$ hom ha $h(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-ze^{-i\eta }u-{\frac {(\log(u)-i\eta )^{2}}{4\pi i}}\right]e^{-i\eta }\,du;$ però aquesta darrera integral convergeix en $\Re (ze^{-i\eta })>0$ i, doncs, hi defineix una continuació analítica de $h$. Repetim el procediment $N$ vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de $h$ al semiplà $\Re (ze^{-i\vartheta })>0$; així doncs, $h$ pot ser continuada analíticament a tot punt $p\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$.

Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí $\vert z\vert =1,0\leq \arg(z)\leq 2\pi$, obtenim, designant ${\hat {h}}$ l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de $z=1$) després una volta completa, ${\hat {h}}(z)=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-e^{2\pi i}zt-(\log t+2\pi i)^{2}/4\pi i\right]\,dt=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[-zt-\displaystyle {\frac {(\log t)^{2}-4\pi ^{2}+4\pi i\log t}{4\pi i}}\right]\,dt=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{+}}\exp \left[\displaystyle -zt-e^{2\pi i}t-(\log t)^{2}/4\pi i-\pi i+\log t\right]\,dt=$

$=\int _{\mathbb {R} ^{+}}(-t)\exp \left[-zt-(\log t)^{2}/4\pi i\right]\,dt=h^{\prime }(z).$

Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.

Bibliografia

• Mitschi, Claude; Sauzin, David «Divergent Series, Summability and Resurgence I» (en anglès britànic). Lecture Notes in Mathematics, 2016. DOI: 10.1007/978-3-319-28736-2. ISSN: 0075-8434.

• Mariño, Marcos. Instantons and Large N: An Introduction to Non-Perturbative Methods in Quantum Field Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2015. ISBN 978-1-107-06852-0.