Sèrie de Mercator

En matemàtiques, la sèrie de Mercator o sèrie de Newton–Mercator és la sèrie de Taylor del logaritme natural:

$\ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .$

Escrita en notació de sumatori,

$\ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.$

La sèrie convergeix al logaritme natural (desplaçat en 1) quan −1 < x ≤ 1.

La sèrie va ser descoberta independentment per Nicholas Mercator, Isaac Newton i Gregory Saint-Vincent. Va ser publicada per primera vegada per Mercator, en el seu tractat Logarithmo-technica de 1668.

Derivació

La sèrie pot ser obtinguda a partir del teorema de Taylor, mitjançant el càlcul inductiu de la enésima derivada del ln x en x = 1, començant amb:

${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$

Alternativament, es pot començar amb la sèrie geomètrica finita (t ≠ −1)

$1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}$

que dona

${\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.$

Se segueix que

$\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt$

i per integració terme a terme,

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.$

Si −1 < x ≤ 1, el terme resta tendeix a 0 quan $n\to \infty$. Aquesta expressió pot ser integrada iterativament k vegades més per obtenir:

$-xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},$

on

$A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}$

i

$B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}$

són polinomis en x.

Casos especials

Prenent x = 1 en la sèrie de Mercator s'obté la sèrie harmònica alternada.

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.$

Sèrie complexa

La sèrie de potències complexa:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z\,+\,{\frac {z^{2}}{2}}\,+\,{\frac {z^{3}}{3}}\,+\,{\frac {z^{4}}{4}}\,+\,\cdots$

és la sèrie de Taylor de la funció complexa -log(1 - z), on log denota la branca principal del logaritme complex. Aquesta sèrie precisament convergeix per a tot nombre complex |z| ≤ 1, z ≠ 1. De fet, es pot veure mitjançant el criteri de d'Alembert, que aquesta té radi de convergència igual a 1, per tant, convergeix absolutament en tot disc B(0, r) amb radi r < 1. A més, aquesta convergeix en tot disc foradat $\scriptstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )$, amb δ > 0. Això és conseqüència immediata de la identitat algebraica:

$(1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},$

Observi's que el costat dret és uniformement convergent en tot el disc tancat unitat.

Bibliografia

• Weisstein, Eric W. Weisstein, Eric W., «Mercator Series» a MathWorld (en anglès).
• Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
• Some Contemporaries of Descartis, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by Walter William Rouse Ball