Subespai vectorial

En àlgebra lineal, donat un espai vectorial E sobre un cos K, un subespai vectorial de E és una part no buida F de E estable per a les combinacions lineals

. En altres paraules, aquesta part ha de verificar:

• La suma vectorial de dos vectors de F pertany a F;
• La multiplicació d'un vector de F per un escalar pertany a F.

Aquestes condicions imposen que el vector nul pertanyi a F. Proveït de les lleis induïdes F és un K-espai vectorial. L'espai nul $\{0\}$ i l'espai total $E$ són respectivament els subespais vectorials més petit i més gran de E. En general, una unió finita de subespais vectorials no és estable per combinacions lineals. Tanmateix, donada una família $(F_{i})_{i\in I}$ de subespais vectorials de E, la seva intersecció és un subespai vectorial de E. La suma de la família $(F_{i})_{i\in I}$ és el subespai més petit que contingui tots els F_i.

Definició equivalent

El subconjunt F és un $\mathbb {K}$-subespai vectorial de E, si i només si:

• $F\subset E$
• $F\neq \emptyset$ ;
• $\forall u,v\in F,\ u+v\in F$ ;
• $\forall \lambda \in \mathbb {K} ,\ \forall u\in F,\ \lambda u\in F$.

Això equival a:

• $F\subset E$
• $F\neq \emptyset$;
• $\forall u,v\in F,\forall \lambda ,\beta \in \mathbb {K} ,\ \lambda u+\beta v\in F$.

En altres paraules, F és un subespai vectorial de E, si i només si no és buit i és estable per a les combinacions lineals.

Nota: en tot espai vectorial E no reduït a $\ \{0\}$, hi ha almenys dos subespais vectorials. Són $\ \{0\}$ i E mateix: se'n diu els dos subespais vectorials trivials.

Observació 1: un subespai vectorial F de E conté necessàriament el vector nul $\ 0_{E}$ de E (en efecte, com que F és no buit, existeix almenys un element $\ u_{0}$ de F; llavors, per a tot $\ \lambda$ en $\ \mathbb {K}$, $\lambda u_{0}$ pertany a F; la tria $\ \lambda =0$ dona $0_{E}=0\cdot u_{0}\in F$).

És per això, quan es tracta de demostrar que un subconjunt F de E és un subespai vectorial de E, sovint es comença comprovant que F no sigui buit assegurant-se que conté el vector nul (si no el conté, immediatament hi ha contradicció).

Observació 2: quan E no es redueix a $\ \{0\}$, es defineix en el conjunt $G=E\setminus \{0_{E}\}$ una relació d'equivalència R que consisteix a dir que dos elements V i W estan relacionats per R si existeix un element k no nul del cos commutatiu K tal que W = k V. Llavors P, el conjunt quocient de G per R, té una estructura molt rica d'espai projectiu.

Intersecció de dos subespais vectorials

Propietat

Siguin $F_{1}\quad$ i $F_{2}\quad$ dos subespais vectorials de E. Llavors:

• $F_{1}\cap F_{2}$ és un subespai vectorial de E.

Més generalment, tota intersecció de subespais vectorials és un subespai vectorial, és a dir que: per a tota família $(F_{i})_{i\in I}$ de subespais vectorials de $E$, $\cap _{i\in I}F_{i}$ és un subespai vectorial de $E$.

Unió de subespais vectorials

En el cas general, l'estructura de subespai vectorial no és estable per la unió. Existeix dues proposicions que tracten aquest cas.

• E és aquí de dimensió finita, i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si $(F_{i})$ és una família finita de subespais vectorials de E tots diferents de E, llavors la unió de la família $(F_{i})$ és diferent de E.

• Si $(F_{i})$ és una família de subespais vectorials de E tal que la unió de dos elements d'aquesta família sempre estigui inclosa en un tercer element de la família, llavors la unió de la família $(F_{i})$ és un subespai vectorial de E.

Demostració

E és aquí de dimensió finita i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si $(F_{i})$ és una família finita de subespais vectorials de E tots diferents de E, llavors la unió de la família $(F_{i})$ és diferent de E.

Sigui f_i, una forma lineal no nul·la que s'anul·la sobre $F_{i}$. Es considera llavors la funció $\phi$ de E al seu cos definit per:

$\forall x\in E\quad \varphi (x)=\prod _{i}f_{i}(x)$

Aquesta funció és polinòmica, de tantes variables com la dimensió de E, en les coordenades de x si x s'expressa en una base de E. Com que l'anell dels polinomis de diverses variables sobre un cos és íntegre, i $\phi$ és el producte de polinomis no nuls, $\phi$ és no nul. Existeix per tant un vector de E que té una imatge no nul·la per $\phi$, aquest vector no pertany a cap subespai vectorial de la família.

Si $(F_{i})$ és una família de subespais vectorials tals que la unió de dos elements d'aquesta família sempre estigui inclosa en un tercer element de la família, llavors la unió és un subespai vectorial.

La unió és no buida. És clar que és estable pel producte extern, ja que aquesta propietat s'aplica a tota unió de subespais vectorials. És per tant estable per addició, ja que la unió de dos elements d'aquesta família sempre està inclosa en un tercer element d'aquesta família. El resultat queda així demostrat.

Suma d'un o diversos espais vectorials

Definició

Siguin $F_{1}\quad$ i $F_{2}\quad$ dos subespais vectorials de E. Es defineix el subconjunt següent de E:

$F_{1}+F_{2}=\left\{x\in E/\exists x_{1}\in F_{1},\exists x_{2}\in F_{2},x=x_{1}+x_{2}\right\}$.

Propietat i definició

• $F_{1}+F_{2}\quad$ és un subespai vectorial de E que conté a la vegada $F_{1}\quad$ i $F_{2}\quad$. Se l'anomena suma de $F_{1}\quad$ i $F_{2}\quad$.
• Si F és un subespai vectorial de E que conté a la vegada $F_{1}\quad$ i $F_{2}\quad$, llavors $F_{1}+F_{2}\subset F$.

És per què es diu que $F_{1}+F_{2}\quad$ és el subespai vectorial més petit de E que conté $F_{1}\cup F_{2}$. Això equival a:

• $F_{1}+F_{2}\quad$ és la intersecció de tots els subespai vectorials de E que contenen $F_{1}\cup F_{2}$.

Nota: la unió de dos subespais vectorials no és, en general, un subespai vectorial; perquè ho sigui, cal i n'hi ha prou que un dels dos estigui inclòs en l'altre.

Generalització

Siguin $F_{1},F_{2},\dots ,F_{m}$ m subespais vectorials de E. Es defineix el subconjunt següent de E:

$\sum _{i=1}^{m}F_{i}=\left\{x\in E/\exists (x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})\in F_{1}\times F_{2}\times \cdots \times F_{m},x=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}\right\}$.

És el conjunt dels vectors de E que admeten almenys una descomposició en suma de vectors que pertanyen a respectivament als subespais vectorials $F_{1},F_{2},\dots ,F_{m}$ (si aquesta descomposició és a més única, la suma dels subespais s'anomena directa.

Llavors:

• $\sum _{i=1}^{m}F_{i}$ és un subespai vectorial de E que conté a la vegada $F_{1},F_{2},\dots ,F_{m}$. Se l'anomena suma d'aquests subespais.
• Si F és un subespai vectorial de E que conté a la vegada $F_{1},F_{2},\dots ,F_{m}$, llavors $\sum _{i=1}^{m}F_{i}\subset F$.

Es diu també que $\sum _{i=1}^{m}F_{i}$ és el subespai vectorial més petit de E que conté $F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \cup F_{m}$.

Subespai vectorial generat

Definició

Sigui A una part qualsevol de E.

• Si A és no buit, es defineix el subconjunt següent de E:

${\mbox{Vect}}(A)=\left\{\sum _{i=1}^{n}{\lambda }_{i}x_{i}{\Bigg /}n\in \mathbb {N} ^{\star },{\lambda }_{i}\in \mathbb {K} ,x_{i}\in A\right\}$.

(així, ${\mbox{Vect}}(A)$ és per definició el conjunt de les combinacions lineals d'elements de A).

• Es completa aquesta definició posant ${\mbox{Vect}}(\emptyset )=\{0_{E}\}$.

Propietat 1

Sigui A una part de E .

• El conjunt ${\mbox{Vect}}(A)$ és un subespai vectorial de E, i conté A.
• Si F és un subespai vectorial de E que conté A, llavors ${\mbox{Vect}}(A)\subset F$.

És per això que es diu que ${\mbox{Vect}}(A)$ és el subespai vectorial més petit de E que contenint A.

Se l'anomena subespai vectorial de E generat per A.

• El subespai vectorial generat per A és la intersecció de tots els subespais vectorials de E que contenen A.

Nota: es considera l'aplicació $\varphi :{\mathcal {P}}(E)\to {\mathcal {P}}(E),A\mapsto {\mbox{Vect}}(A)$, on ${\mathcal {P}}(E)$ designa el conjunt de les parts de E.

Es designa per A i B dues parts qualssevol de E. Resulta de la propietat precedent que:

• L'aplicació $\varphi$ és creixent: si $A\subset B$, llavors ${\mbox{Vect}}(A)\subset {\mbox{Vect}}(B)$.
• L'aplicació $\varphi$ és extensiva: $A\subset {\mbox{Vect}}(A)$.
• L'aplicació $\varphi$ és idempotent: ${\mbox{Vect}}''{\mbox{Vect}}(A''={\mbox{Vect}}(A)$

Es diu llavors que $\varphi$ és una clausura. Els subespais vectorials de E són els punts fixos de $\varphi$:

• Perquè una part A de E sigui un subespai vectorial de E, cal i n'hi ha prou que ${\mbox{Vect}}(A)=A$.

Propietat 2

Siguin A i B dues parts de E. Llavors:

• ${\mbox{Vect}}(A)+{\mbox{Vect}}(B)={\mbox{Vect}}(A\cup B)$

Espai vectorial finit

Sigui K un cos finit de cardinal q, i sigui E un K-espai vectorial de dimensió finita n sobre K. Llavors el conjunt E és finit de cardinal q ⁿ . Posseeix un nombre finit de subespais vectorials. El nombre de subespais de dimensió k val

${\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\dots (q^{n}-q^{k-1})}{(q^{k}-1)(q^{k}-q)\dots (q^{k}-q^{k-1})}}$.

Aquesta quantitat és el quocient del nombre de famílies lliures a k elements de E pel nombre de les bases en un K-espai vectorial de dimensió k.

Demostració

Sent de dimensió n sobre K, l'espai E és de cardinal q ⁿ . Posseeix per tant exactament q ⁿ -1 vectors no nuls. Hi ha Or dos vectors v i w que engendren la mateixa recta vectorial ssi v i w són col·lineals. Hi ha q -1 vectors no nuls de E col·lineals a un vector no nul fixat. El nombre de rectes vectorials de E és per tant

• ${\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+\dots +q^{n-1}$.

Si ${\mathcal {L}}$ és una família lliure de E, llavors $({\mathcal {L}},v)$ és lliure ssi v no pertany al subespai vectorial F engendrat per ${\mathcal {L}}$. Si k és el nombre de vectors de ${\mathcal {L}}$, la dimensió de F és q ^k . Per recurrència, el nombre de famílies lliures amb k vectors de E és:

• $(q^{n}-1)(q^{n}-q)\dots (q^{n}-q^{k-1})$.

Se'n segueix que el nombre de bases d'un K-espai vectorial de dimensió k és

• $(q^{k}-1)(q^{k}-q)\dots (q^{k}-q^{k-1})$.

Se'n dedueix el resultat.