Teorema de Gauss-Màrkov
Aparença
El Teorema de Gauss-Màrkov, en estadística, formulat per Carl Friedrich Gauss i Andrei Màrkov, estableix que en un model lineal general (MLG) en el qual s'estableixin els següents supòsits:
- Correcta especificació: el MLG ha de ser una combinació lineal dels paràmetres (B) i no necessàriament de les variables: Y = XB+U
- Mostreig aleatori simple: la mostra d'observacions del vector (yi, x2i, x3i,..., xki) és una mostra aleatòria simple i, per tant, el vector (yi, X'i) és independent del vector (yi, X'j)
- Esperança condicionada de les pertorbacions nul·la: E (Ui/X'i) = 0
- Correcta identificació: la matriu de regressors (X) ha de tenir rang complet: rg (X) = K ≤ N
- Homoscedasticitat: Var (U/X) = S2I
L'estimador mínim quadràtic ordinari (MCO) de B és l'estimador lineal i no esbiaixat òptim (ELIO o en anglès BLUE: best linear unbiased estimator), és a dir, l'estimador MQO és l'estimador eficient dins de la classe d'estimadors lineals i no esbiaixats.
Aquest teorema es basa en 10 supòsits, anomenats, Supòsits de Gauss-Markov, que serveixen com a hipòtesi per a la demostració del mateix:
- El model està correctament especificat.
- Ha de ser lineal en els paràmetres.
- El valor de la mitjana condicional és zero.
- Hi ha homoscedasticitat.
- No existeix correlació entre les pertorbacions.
- La covariància entre ui i xi és zero.
- El nombre d'observacions és major que el de paràmetres.
- Existeix variabilitat entre les x.
- No hi ha multi-colinealitat perfecta.
- Les x són no estocàstiques, és a dir, són fixes en mostres repetides.
Bibliografia
[modifica]- Plackett, R.L. «Some Theorems in Least Squares». Biometrika, 37, 1-2, 1950, pàg. 149-157. DOI: 10.1093/biomet/37.1-2.149. JSTOR 2332158.
Enllaços externs
[modifica]- Primers usos coneguts d'Algunes Paraules de Matemàtiques: G (història breu i explicació del nom)
- Prova del teorema de Gauss Markov per a la regressió lineal múltiple (fa ús d'àlgebra de matrius)
- Exercisis del teorema de Gauss Markov mitjançant geometria Arxivat 2010-06-14 a Wayback Machine.