![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Crystal128-pipe.svg/25px-Crystal128-pipe.svg.png) |
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
En matemàtiques, el teorema de Heine-Cantor, anomenat així per deure's a Eduard Heine i Georg Cantor, estableix que, si
és una funció contínua entre dos espais mètrics i
és compacte, llavors
és uniformement contínua.
La continuïtat uniforme d'una funció s'expressa com:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M\ |\left(d_{M}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7f9010e1f93e90dbbf80d30f5d18dba46a8f5d)
on
i
són les funcions distància als espais mètrics
i
, respectivament. Si ara assumim que
és contínua a l'espai mètric compacte
però no uniformement contínua, la negació de la continuïtat uniforme de
s'escriu com:
![{\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M\ |\ {\big (}d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}{\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e798f86579b82e7146d80fb045ee64adb6ed098)
Triant
, per a tot
positiu tenim dos punts
i
de
amb les propietats a dalt descrites.
Si triem
per a
obtenim dues successions
i
tals que compleixen
![{\displaystyle d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e345f2797dbdef3cb9cebb6d67d201d92e13d72a)
Com que
és compacte, el teorema de Bozen-Weierstrass demostra l'existència de dues subsucesiones convergents (
i
). Aleshores
![{\displaystyle d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a302e19983645378414c04984e4c4e89682f5b7f)
Definim ara la successió
![{\displaystyle \{|x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|\}=\{d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})\}\leq {\bigg \{}{\frac {1}{n_{k}}}{\bigg \}}\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7fc7cf867c08a3155590e92917738271222559)
Com que la successió
no té termes negatius no pot convergir cap a un nombre negatiu, però per altra banda
Per tant
Com que
és contínua a
, tenim que
i
, és a dir,
. Però això no pot ser, ja que
.
La contradicció prova que la nostra suposició que
no és uniformement contínua és absurda: llavors
ha de ser uniformement contínua com afirma el teorema.
Enllaços externs[modifica]