Teorema de Maxwell

En teoria de la probabilitat, el teorema de Maxwell (conegut també com a teorema de Herschel-Maxwell i derivació de Herschel-Maxwell) afirma que si la distribució de probabilitat d'un vector aleatori en $\mathbb {R} ^{n}$ no canvia per les rotacions, i si els components són independents, aleshores els components es distribueixen de manera idèntica i es distribueixen normalment.

Enunciats equivalents

Si la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria de valor vectorial X = ( X ₁,..., X _n )^T és la mateixa que la distribució de GX per a cada n × n matriu ortogonal G i les components són independents, aleshores les components X ₁ ,... , X _n es distribueixen normalment amb el valor esperat 0 i tots tenen la mateixa variància. Aquest teorema és una de les moltes caracteritzacions de la distribució normal.

Les úniques distribucions de probabilitat rotacionalment invariants a Rⁿ que tenen components independents són distribucions normals multivariables amb valor esperat 0 i variància σ² I_n, (on I_n = la matriu d'identitat n × n ), per a algun nombre positiu σ².

Història

James Clerk Maxwell va demostrar el teorema a la Proposició IV del seu article de 1860.

Deu anys abans, John Herschel també va demostrar el teorema.

Els detalls lògics i històrics del teorema es poden trobar a

Demostració

Només necessitem demostrar el teorema per al cas bidimensional, ja que després podem generalitzar-lo a n dimensions aplicant el teorema seqüencialment a cada parell de coordenades.

Ja que girant 90 graus es conserva la distribució conjunta, ambdues $X_{1},X_{2}$ té la mateixa mesura de probabilitat. Que sigui $\mu$. Si $\mu$ és una distribució delta de Dirac a zero, llavors és una distribució gaussiana, només degenerada. Ara suposa que no ho és.

Mitjançant el teorema de descomposició de Lebesgue, el descomponem en una suma de mesura regular i una mesura atòmica: $\mu =\mu _{r}+\mu _{s}$. Ho hem de demostrar $\mu _{s}=0$, amb una prova per contradicció.

Suposem $\mu _{s}$ conté una part atòmica, llavors n'hi ha $x\in \mathbb {R}$ tal que $\mu _{s}(\{x\})>0$. Per independència de $X_{1},X_{2}$, la variable condicional $X_{2}|\{X_{1}=x\}$ es distribueix de la mateixa manera que $X_{2}$. Suposem $x=0$, doncs des que vam suposar $\mu$ no es concentra a zero, $Pr(X_{2}\neq 0)>0$, i així el doble raig $\{(x_{1},x_{2}):x_{1}=0,x_{2}\neq 0\}$ té una probabilitat diferent de zero. Ara per simetria rotacional de $\mu \times \mu$, qualsevol rotació del raig doble també té la mateixa probabilitat diferent de zero, i com que dues rotacions qualsevol són disjuntes, la seva unió té una probabilitat infinita, contradicció.

(Pel que podem trobar, no hi ha literatura sobre el cas en què $\mu _{s}$ és singularment continu, així que deixarem anar aquest cas.)

Així que ara deixem $\mu$ tenen funció de densitat de probabilitat $\rho$, i el problema es redueix a resoldre l'equació funcional

$$\rho (x)\rho (y)=\rho (x\cos \theta +y\sin \theta )\rho (x\sin \theta -y\cos \theta )$$