En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier.[1] En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral).[2]
Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb
.
(Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol
).
Sigui
l'operador de la transformada de Fourier, de manera que
i
són les transformades de Fourier de f i g , respectivament.
Llavors
![{\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb25a0be1c3d0d19679e4f831627125d92d9a84)
on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb25a0be1c3d0d19679e4f831627125d92d9a84)
Aplicant la transformada inversa de Fourier
, podem escriure:
![{\displaystyle f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfa8c019fd229f5c63ecc9f077b318e72fe4b82)
La demostració funciona per normalitzacions unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, però en la versió unitària té factors extres de
que aquí, són inconvenients. Siguin
Siguin
la transformada de Fourier de
i
la transformada de Fourier de
:
![{\displaystyle F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f79e73d913b2b08415d08f53955f6f6a3dba2c)
.
Sigui
la convolució de
i
![{\displaystyle h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23580bdccf72a678f49a668b6047ae584760272d)
Nota:
![{\displaystyle \int \int |f(z)g(xz)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(zx)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc724b92fcda2faa6de23c2cc194dd98118a901)
Pel teorema de Fubini tenim que
, així que la seva transformada de Fourier està definida.
Sigui
la transformada de Fourier de
:
![{\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd6207db4236a7c26a1f03713047b8e233c3732)
Tenint en compte que
i gràcies a l'argument d'abans podem aplicar novament el teorema de Fubini:
![{\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd3bdb9289f629fe789cfe2bbd64078438ef16c)
Substituint
; tenim
, i per tant:
![{\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25df4bc5bbc26bb5dfc071e017be014fee9e09f0)
![{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5d94c72b0a4e7781aed625ef15361c905b49c9)
![{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102a513e1aabdbd846cd00fdaf98c59136db78dd)
Aquestes dues integrals són les definicions de
i
, així que:
![{\displaystyle H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8fbd88e7d77a7719888848ccbcfbf7bc706dd17)
Que és el que volíem demostrar.
- ↑ O'Shea, Donald C.; Suleski, Thomas J.; Kathman, Alan D.; Prather, Dennis W. Diffractive Optics: Design, Fabrication, and Test (en anglès). SPIE Press, 2004. ISBN 9780819451712 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The convolution theorem states that the Fourier transform of the convolution of two functions is equal to the product of the Fourier transform of the individual functions.»
- ↑ Norton, Robert L. Cam Design and Manufacturing Handbook (en anglès). Industrial Press Inc., 2009. ISBN 9780831133672 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The significance of this relationship is that a complicated mathematical operation (convolution) in the time domain can be accomplished by first Fourier transforming the functions to the frequency domain and then performing a simple operation: multiplication.»
- Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
- Li, Bing & Babu, G. Jogesh (2019), "Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency", A Graduate Course on Statistical Inference, Nova York: Springer, pàg. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
- Crutchfield, Steve (October 9, 2010), The Joy of Convolution, <http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html>. Consulta: 19 novembre 2010