Vés al contingut

Teoria quàntica de camps algebraica

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

La teoria quàntica algebraica de camps (AQFT) és una aplicació a la física quàntica local de la teoria C*-àlgebra. També conegut com el marc axiomàtic de Haag-Kastler per a la teoria quàntica de camps, perquè va ser introduït per Rudolf Haag and Daniel Kastler (1964). Els axiomes s'especifiquen en termes d'àlgebra donada per a cada conjunt obert a l'espai de Minkowski, i mapes entre aquests.[1]

Axiomes de Haag-Kastler

[modifica]

Deixar ser el conjunt de tots els subconjunts oberts i acotats de l'espai de Minkowski. Una teoria quàntica de camps algebraica es defineix mitjançant un conjunt de l'àlgebra de von Neumann en un espai comú de Hilbert satisfent els següents axiomes: [2]

  • Isotonia: implica .
  • Causalitat: si és com un espai separat de , doncs .
  • Covariància de Poincaré: una representació unitària fortament contínua del grup Poincaré activat existeix tal que
  • Condició de l'espectre: l'espectre conjunt de l'operador d'energia-impuls (és a dir, el generador de traduccions espai-temps) està contingut en el con de llum tancat cap endavant.
  • Existència d'un vector de buit: Un vector cíclic i invariant de Poincaré existeix.

Les àlgebres netes s'anomenen àlgebres locals i àlgebra C* s'anomena àlgebra quasilocal.[3]

Formulació teòrica de categories

[modifica]

Sigui Mink la categoria de subconjunts oberts de l'espai de Minkowski M amb mapes d'inclusió com a morfismes. Ens dona un functor covariant de Mink a uC*alg, la categoria d'àlgebres C* unitals, de manera que cada morfisme de Mink s'assigna a un monomorfisme en uC*alg (isotonia).

El grup Poincaré actua contínuament sobre Mink. Hi ha un retrocés d'aquesta acció, que és contínua en la topologia norma de (covariància de Poincaré).

L'espai de Minkowski té una estructura causal. Si un conjunt obert V es troba en el complement causal d'un conjunt obert U, aleshores la imatge dels mapes

i

desplaçament (commutativitat semblant a l'espai). Si és la finalització causal d'un conjunt obert U, doncs és un isomorfisme (causalitat primitiva).

Un estat respecte a una àlgebra C* és una funcional lineal positiva sobre ella amb norma unitat. Si tenim un estat acabat , podem agafar la " traça parcial " per obtenir els estats associats per a cada conjunt obert mitjançant el monomorfisme net. Els estats sobre els conjunts oberts formen una estructura de prefabricat.

Segons la construcció GNS, per a cada estat, podem associar una representació espacial de Hilbert Els estats purs corresponen a representacions irreductibles i els estats mixtes corresponen a representacions reductibles. Cada representació irreductible (fins a l'equivalència) s'anomena sector de superselecció. Suposem que hi ha un estat pur anomenat buit de manera que l'espai de Hilbert associat a ell és una representació unitària del grup de Poincaré compatible amb la covariància de Poincaré de la xarxa de manera que si ens fixem en l'àlgebra de Poincaré, l'espectre respecte a l'energia -l'impuls (corresponent a les traduccions de l'espai-temps ) es troba al con de llum positiu i al seu interior. Aquest és el sector del buit.[4]

QFT en l'espai-temps corbat

[modifica]

Més recentment, l'enfocament s'ha implementat encara més per incloure una versió algebraica de la teoria quàntica de camps en l'espai-temps corbat. De fet, el punt de vista de la física quàntica local és especialment adequat per generalitzar el procediment de renormalització a la teoria de camps quàntics desenvolupada sobre fons corbats. S'han obtingut diversos resultats rigorosos sobre QFT en presència d'un forat negre.


Referències

[modifica]
  1. «Algebraic Quantum Field Theory -- an introduction». [Consulta: 31 maig 2024].
  2. Baumgärtel, Hellmut. Operatoralgebraic Methods in Quantum Field Theory (en anglès). Berlin: Akademie Verlag, 1995. ISBN 3-05-501655-6. 
  3. Fredenhagen, Klaus. An Introduction to Algebraic Quantum Field Theory (en anglès). Cham: Springer International Publishing, 2015, p. 1–30. DOI 10.1007/978-3-319-21353-8_1. ISBN 978-3-319-21353-8. 
  4. «AQFT in nLab» (en anglès). [Consulta: 31 maig 2024].