Usuària:Mzamora2/el problema del viatjant de comenrç

$\sum _{i\in S,\;j\notin S}x_{ij}\geq 2\qquad (2)$

für alle Knotenmengen $S$ mit $1\leq |S|\leq |V|-1$. Die Summe zählt alle Kanten el ruta zwischen einem Knoten $i\in S$ i einem anderen Knoten $j\notin S$. Zur Vermeidung redundanter Desigualtats kann man sich auch auf Knotenmengen $S$ mit mindestens zwei i höchstens $|V|-2$ Knoten beschränken. Im nebenstehenden Arxiu sind wieder die Kanten $\{i,j\}$ mit $x_{ij}=1$ fett gezeichnet, während die übrigen Kanten den Wert $x_{ij}=0$ haben. Das Hinzufügen el Bedingung (2) für die Knotenmenge $S$, die aus den drei linken Knoten besteht, würde dafür sorgen, dass S durch mindestens zwei Tourkanten mit den drei rechten Knoten verbunden sein muss, i damit die beiden gezeigten Kurzzyklen ausschließen. Die Anzahl el Subtour-Eliminationsbedingungen nach Dantzig, Fulkerson i Johnson beträgt $2^{n}-2(n-1)$. Eine 1960 von Miller, Tucker i Zemlin veröffentliche alternative Darstellung el Nebenbedingungen zur Vermeidung von Subtouren kommt durch Einführung von $n$ neuen Variablen, die die Reihenfolge el besuchten Orte angeben, mit nur $n^{2}-n+1$ Nebenbedingungen aus. Allerdings bleibt das problema del viatjant de comerç wegen el Binarität el $x_{ij}$ auch mit el Formulierung nach Miller, Tucker i Zemlin weiterhin NP-schwer.

Da jeder Vektor $x=(x_{ij})_{i,j\in V}$ mit Einträgen aus 0 i 1, el alle diese Desigualtats erfüllt, eine gültige Rundreise definiert, ergibt sich als reformuliertes problema del viatjant de comerç: Finde

$\min \;\left\{\sum _{i\in V}\sum _{j\in V\setminus \{i\}}c_{ij}x_{ij}\;|\;x{\mbox{ erf}}{\rm {{\ddot {u}}{\mbox{llt (1) i (2) }},\;x_{ij}\in \{0,1\}}}\right\}.\qquad (3)$

Da die Variablen $x_{ij}$ nur die Werte 0 oder 1 annehmen, zählt die Summe genau die Längen $c_{ij}$ el Kanten $\{i,j\}$ zusammen, die in el ruta enthalten sind.

Die Zahl el Desigualtats vom Typ (2) wächst exponentiell mit el Anzahl el ciutats, da fast jede el $2^{|V|}$ Teilmengen von Knoten eine Ungleichung definiert. Dieses problema kann aber mit Hilfe von Schnittebenenverfahren umgangen werden, bei denen diese Desigualtats erst dann hinzugefügt werden, wenn sie tatsächlich gebraucht werden. Geometrisch lässt sich jede lineare Ungleichung als Hyperebene im Raum el Variablen interpretieren. Die Menge el zulässigen solucions bildet in diesem Raum ein Politop, also ein mehrdimensionales Vieleck, dessen genaue Gestalt von den Kosten $c_{ij}$ abhängt i meist unbekannt ist. Man kann aber zeigen, dass die meisten el Bedingungen (1) i (2) Facetten des problema del viatjant de comerç-Polytops definieren, also Seitenflächen des Polytops mit höchstmöglicher Dimension. Damit gehören sie zu den stärksten linearen Desigualtats, die es zur Beschreibung einer ruta geben kann. Es gibt noch viele weitere Facetten, deren zugehörige Desigualtats allerdings nur in wenigen Fällen bekannt sind. Obwohl (1) i (2) zusammen mit el Beschränkung auf 0/1-Vektoren das problema vollständig modellieren, können solche zusätzlichen Desigualtats innerhalb eines Branch-and-Cut-Verfahrens zur Formulierung hinzugefügt werden, um bestimmte LP-solucions mit nicht-ganzzahligen Koordinaten auszuschließen (siehe Abschnitt Exakte Lösungsverfahren).

Complexitat lgoritmica

Da dem Handlungsreisenden in jedem Schritt die ciutats zur Auswahl stehen, die er noch nicht besucht hat, gibt es (n-1)! mögliche Touren für ein asymmetrisches i $(n-1)!/2$ Touren für ein symmetrisches problema del viatjant de comerç. Die Größe des Suchraums hängt also überexponentiell von el Anzahl el ciutats ab.

Das problema del viatjant de comerç ist sowohl für den allgemeinen als auch für den symmetrischen oder metrischen Fall NP-äquivalent. Unter el allgemein vermuteten, bisher aber unbewiesenen Annahme, dass die Komplexitätsklassen P i NP verschieden sind (siehe P-NP-problema), folgt daraus, dass keine deterministische Turingmaschine existiert, die das problema für jede Instanz in polynomialer Laufzeit bezüglich el Anzahl el ciutats löst.

Ferner ist bekannt, dass es unter el Annahme P$\neq$NP für das allgemeine problema del viatjant de comerç keinen Polynomialzeitalgorithmus geben kann, el für irgendein Polynom $p$ grundsätzlich eine Lösung berechnet, deren Wert höchstens um einen Faktor $2^{p(n)}$ vom Optimalwert abweicht.

Allerdings lassen sich für das metrische problema del viatjant de comerç Approximationsalgorithmen angeben, die in polynomieller Laufzeit eine Lösung liefern, die höchstens doppelt (Minimum-Spanning-Tree-Ansatz) bzw. höchstens 1,5 mal (Algorithmus von Christofides) so lang wie die optimale Lösung ist (siehe unten). Bisher ist kein Polynomialzeitalgorithmus mit einer besseren Gütegarantie als 1,5 bekannt. Unter el Annahme P$\neq$NP gibt es eine (unbekannte) Konstante $c>0$, so dass kein Polynomialzeitalgorithmus für das metrische problema del viatjant de comerç existieren kann, el die Güte $1+c$ garantiert. Arora hat gezeigt, dass für das euklidische problema del viatjant de comerç ein polynomiales Approximationsschema (PTAS) existiert.

Recerca de solucions

Die bekannten Lösungsverfahren unterteilen sich in zwei Gruppen, die miteinander kombiniert werden können. Exakte Lösungsverfahren finden – beliebig lange Laufzeit vorausgesetzt – grundsätzlich eine beweisbare Optimallösung. Heuristische Verfahren finden oft in kurzer Zeit gute solucions, die aber im allgemeinen Fall beliebig schlecht sein können. Für das metrische problema del viatjant de comerç gibt es polynomiale Heuristiken, deren solucions grundsätzlich höchstens um den Faktor 1,5 bzw. 2 länger sind als eine kürzeste Rundreise.

Procediments de solució exactes

Hauptartikel: Branch-and-Cut

Das problema del viatjant de comerç kann exakt gelöst werden, indem man die Weglängen aller möglichen Rundreisen berechnet i dann eine mit el kleinsten Weglänge auswählt. Das ist aber schon bei einer kleinen Zahl von ciutats nicht mehr praktisch durchführbar. Bei el einfachsten variant, dem symmetrischen problema del viatjant de comerç mit $n$ ciutats, gibt es $(n-1)!/2$ verschiedene Rundreisen, das sind bei 15 ciutats über 43 Milliarden i bei 18 ciutats bereits über 177 Billionen. Wie schnell die Rechenzeit mit wachsender Anzahl von ciutats wächst zeigt das folgende Beispiel. Hat man einen Rechner, el die Lösung für 30 ciutats in einer Stunde berechnet, dann braucht dieser für zwei zusätzliche ciutats annähernd die tausendfache Zeit; das sind mehr als 40 Tage.

[[Arxiu:problema del viatjant de comerç_cutting_plane.png|thumb|problema del viatjant de comerç auf drei Knoten: Die rot gestrichelte Schnittebene $x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 2$ schneidet alle unzulässigen solucions mit höchstens einer Kante ab. Alle Punkte im roten Polytop erfüllen diese Ungleichung, u. a. el einzige zulässige Punkt (1,1,1).]] Mit Methoden el ganzzahligen linearen Optimierung, insbesondere Branch-and-Cut, lassen sich dagegen Instanzen in praktisch relevanten Größenordnungen beweisbar optimal lösen, oder zumindest die Güte einer gefundenen ruta im Vergleich zu einer Optimallösung abschätzen. Geometrisch interpretiert, betrachten diese Verfahren das problema als konvexes Polytop, also als mehrdimensionales Vieleck, im $m$-dimensionalen Einheitswürfel $[0,1]^{m}$, wobei $m$ die Anzahl el Kanten des Graphen ist. Jede Ecke dieses Einheitswürfels beschreibt eine ruta, sofern el zugehörige 0/1-Vektor die oben beschriebenen linearen Desigualtats erfüllt. Die zu diesen Desigualtats gehörenden Hyperebenen schneiden daher Ecken des Einheitswürfels ab, die keine ruta darstellen.

Das nebenstehende Arxiu illustriert dies für das (sehr einfache) problema del viatjant de comerç mit drei Knoten. Entsprechend den drei möglichen Kanten zwischen diesen Knoten gibt es auch drei binäre Variablen $x_{1},\,x_{2}$ i $x_{3}$. Es gibt in diesem Fall nur eine mögliche ruta, nämlich diejenige, die alle drei Kanten benutzt. Diese ruta erfüllt die Ungleichung $x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 2$, die besagt, dass jede ruta mindestens zwei Kanten haben muss. Außer dieser ruta, die dem Punkt (1,1,1) entspricht, erfüllen auch alle Punkte im rot eingegrenzten Bereich diese Ungleichung. Die zugehörige Schnittebene, die durch die rot gestrichelten Linien aufgespannt wird, schneidet also alle Ecken ab, die unmöglichen Touren mit höchstens einer Kante entsprechen, nämlich den Nullvektor (0,0,0) i die Einheitsvektoren (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1). Die stärkere Ungleichung $x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 3$ würde alles vom Einheitswürfel abschneiden außer dem einzigen zulässigen Punkt (1,1,1). In diesem speziellen Fall lässt sich derselbe Effekt auch schon durch die drei Desigualtats vom Typ (1) erzielen.

Durch Lösen vieler linearer Programme, Abschneiden nicht benötigter Teile des Einheitswürfels mit Hilfe weiterer Schnittebenen (z. B. vom Typ (2), oder auch Kamm-, Cliquenbaum- i Domino-Parity-Desigualtats) sowie durch Aufteilung in mehrere Teilpolytope mit Hilfe von Branch-and-Bound wird versucht, eine zulässige 0/1-Ecke mit minimalem Zielfunktionswert zu bestimmen. Eine genauere Beschreibung dieser Verfahren ist im Artikel Ganzzahlige lineare Optimierung zu finden.

Die alleinige Anwendung dieser Verfahren reicht meist nicht aus, um schnell gute Rundreisen zu finden. Ihr Hauptvorteil liegt darin, dass sie Angaben liefern, wie lang eine kürzeste ruta mindestens sein muss. Mit einer solchen unteren Schranke für den optimalen Lösungswert lässt sich abschätzen, wie gut eine gefundene ruta im Vergleich zu einer optimalen Rundreise ist, ohne diese zu kennen. Hat man beispielsweise eine untere Schranke von 100 i eine ruta el Länge 102 gefunden, kann eine optimale ruta nur zwischen 100 i 102 liegen. Die so genannte Optimalitätslücke, also el maximale relative Abstand zwischen el optimalen Tourlänge i el kürzesten bekannten Tourlänge, beträgt daher (102-100)/100 = 2 %, d. h; el gefundene Lösungswert 102 ist höchstens 2 % vom Optimalwert entfernt. Wenn die Länge einer gefundenen ruta genauso groß ist wie die untere Schranke, ist damit bewiesen, dass die gefundene Lösung optimal ist. Um gute Touren zu finden, können diese exakten Verfahren mit Heuristiken kombiniert werden, von denen einige im nachfolgenden Abschnitt beschrieben werden.

Heurística

Um schnell zu brauchbaren solucions zu kommen, sind meist durch Heuristiken motivierte Näherungsverfahren notwendig, die aber in el Regel keine Güteabschätzung für die gefundenen solucions liefern. Je nachdem, ob eine Heuristik eine neue ruta konstruiert oder ob sie versucht, eine bestehende Rundreise zu verbessern, wird sie als Eröffnungs- (auch Konstruktions-) oder Verbesserungsverfahren bezeichnet. Darüber hinaus gibt es Dualheuristiken, die Mindestlängen für eine ruta berechnen. Metaheuristiken können mehrere dieser Einzelheuristiken unterschiedlich kombinieren. Eine Übersicht über die meisten el hier vorgestellten Heuristiken ist im Abschnitt Übersicht zu finden.

Generalització

[[Arxiu:Nearest_Neighbor_Heuristik.svg|thumb|Die Nearest-Neighbor-Heuristik besucht in jedem Schritt den nächstgelegenen Knoten.]] Dem intuitiven Vorgehen eines Handlungsreisenden entspricht wohl am ehesten die Nearest-Neighbor-Heuristik (nächster Nachbar). Von einer Stadt ausgehend wählt diese jeweils die nächstgelegene als folgenden Ort aus. Dieses wird sukzessive fortgesetzt, bis alle ciutats bereist wurden i el Handlungsreisende zum Ausgangsort zurückgekehrt ist. Die hiermit verwandte Farthest-Neighbor-Heuristik besucht in jedem Schritt die am weitesten entfernt liegende Stadt. In jeder Stadt muss also el kürzeste bzw. weiteste ausgehende Weg gesucht werden. Maximal kann es pro Stadt nur so viele ausgehende Kanten geben, wie Knoten im Graphen vorhanden sind. Daraus ergibt sich eine algorithmische Komplexität von O(n²), die Anzahl el Rechenschritte hängt also quadratisch von el Zahl el ciutats ab. Dass diese Heuristik im Allgemeinen jedoch nicht die beste Lösung liefert, liegt daran, dass die Distanz zwischen el Ausgangsstadt i el letzten besuchten Stadt bis zuletzt nicht berücksichtigt wird. Die Nearest- i die Farthest-Neighbor-Heuristik können beliebig schlechte Ergebnisse liefern, das heißt, es gibt keinen konstanten, instanzunabhängigen Approximationsfaktor für den Lösungswert im Vergleich zum Optimalwert.

Eine ganze Klasse weiterer Eröffnungsverfahren bilden die sogenannten Einfüge-Heuristiken. Die einfachsten Varianten davon sind die Nearest-Insertion-Heuristik (nächste Einfügung) i die Farthest-Insertion-Heuristik (entfernteste Einfügung). Gegeben seien (wenige) einander benachbarte ciutats, für die sich durch exakte Verfahren schnell eine optimale Rundreise ermitteln lässt. Nun wird schrittweise überprüft, welche noch nicht besuchte Stadt am nächsten (beziehungsweise am entferntesten) zu einer el Verbindungslinien el bisherigen Rundreise liegt. Ist diese Stadt gefunden, so wird sie zwischen den ihr am nächsten liegenden ciutats in die ruta eingebaut. Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis die Rundreise alle ciutats umfasst. Auch die solucions dieser Heuristik können im Vergleich zu einer Optimallösung beliebig schlecht sein.

[[Arxiu:Minimum_spanning_tree.svg|thumb|left|Ein minimal aufspannender Baum verbindet alle Punkte eines Graphen bei minimaler Kantenlänge]] Eine andere Klasse von Heuristiken unterteilt die Knotenmenge in einzelne Partitionen (z. B. nach geographischen Kriterien), die jeweils teiloptimiert werden. Anschließend werden die Teillösungen zu einer Gesamtlösung kombiniert. Diese ist in el Regel nur lokal optimal i kann gegenüber dem globalen Optimum beliebig schlecht sein.

Die Minimum-Spanning-Tree-Heuristik (MST) berechnet zunächst einen minimal aufspannenden Baum, also einen Graphen, in dem alle Punkte miteinander verbunden sind i el minimale Länge besitzt. Davon ausgehend wird eine ruta konstruiert, indem zunächst alle Baumkanten verdoppelt werden i danach eine „Eulertour“ in dem entstandenen eulerschen Graphen gesucht wird. Diese wird zuletzt durch direkte Kanten abgekürzt, falls Knoten doppelt besucht werden. Im Falle eines metrischen problema del viatjant de comerç kann man zeigen, dass die so konstruierte ruta höchstens doppelt so lang ist wie eine kürzeste ruta.

Eine noch bessere Approximationsgüte für metrische problema del viatjant de comerç wird durch die Christofides-Heuristik erreicht. Mit ihr kann eine Rundreise berechnet werden, die höchstens eineinhalb mal so lang wie eine optimale ist. Hierbei wird statt el Verdopplung el Kanten in el MST-Heuristik eine kleinste perfekte Paarung auf den Knoten ungeraden Grades im minimal aufspannenden Baum berechnet, um einen eulerschen Graphen zu erzeugen. Dieser Algorithmus ist jedoch aufwändiger.

Millores

Verbessernde Optimierungsverfahren, auch Post-Optimization-Verfahren (Nach-Optimierung) versuchen, eine bestehende ruta durch kleine Modifikationen zu verkürzen. Führt keine el betrachteten Änderungen mehr zu einer Verbesserung, so ist ein lokales Optimum gefunden (aber nicht notwendigerweise ein globales). Die k-Opt-Heuristiken verfolgen diesen Ansatz, indem sie systematisch Gruppen von $k$ Kanten aus el ruta entfernen i durch $k$ andere Kanten ersetzen, so dass wieder eine ruta entsteht. Da eine vollständige Durchführung dieses Verfahrens einer Aufzählung aller möglichen Touren entsprechen würde, ist $k$ in praktischen Implementierungen üblicherweise höchstens 5. Dabei werden oft alle Austauschmöglichkeiten von zwei i drei Kanten durchprobiert, während Kantenaustausche von mehr als drei Kanten wegen des Rechenaufwandes nur noch sehr sparsam eingesetzt werden.

Die Güte einer k-Opt-Heuristik in el Praxis hängt stark von el Auswahl el auszutauschenden Kanten i des Parameters $k$ ab, für die es verschiedene heuristische Kriterien gibt. Eine bekannte k-Opt-basierte Heuristik ist die Lin-Kernighan-Heuristik, die 1973 von S. Lin i B.W. Kernighan entwickelt wurde i in el Implementierung von Keld Helsgaun unter anderem an el optimalen Lösung des problema del viatjant de comerç durch 24.978 schwedische ciutats im Jahre 2004 beteiligt war. Sie basiert darauf, erst alle Austauschmöglichkeiten von zwei Kanten durchzutesten, dann solche mit drei Kanten, usw., bis eins von mehreren möglichen Abbruchkriterien erfüllt ist.

Recerca metaheurística

Metaheuristiken kombinieren lokale i globale Suchverfahren in einer abstrakten Strategie für die heuristische Optimierung eines Problems. Viele dieser Verfahren basieren auf lokaler Suche, d. h. sie berechnen eine heuristische Startlösung (beispielsweise mit el Nearest-Neighbor-Heuristik) i verbessern diese solange durch ein lokales Suchverfahren, wie z. B. K-Opt-Heuristiken, bis keine bessere ruta mehr gefunden wird. Durch verschiedene Strategien, wie beispielsweise Tabu-Suche oder Simulierte Abkühlung, kann versucht werden, das Steckenbleiben in lokalen Minima weitestgehend zu verhindern. Andere Ansätze, wie Ameisenalgorithmen, genetische Algorithmen oder künstliche neuronale Netze (dort vor allem das Hopfield-Netz), haben natürliche Prozesse als Vorbild. Prinzipiell können all diese Verfahren gute solucions berechnen, aber auch beliebig schlecht im Vergleich zu einer Optimallösung sein. Ihre Qualität i Laufzeit hängen wesentlich von el Definition i Implementierung el einzelnen Schritte ab.

Heurística dual

Das problema del viatjant de comerç ist eines el wenigen kombinatorischen Optimierungsprobleme, bei dem sich auf einfache Weise brauchbare untere Schranken für die minimale Länge einer ruta (allgemein: die minimalen Kosten einer Lösung) angeben lassen. Diese Schranken sind insbesondere wichtig um Aussagen über die Güte einer zulässigen ruta zu treffen. Da beispielsweise jede ruta, also insbesondere auch eine optimale, genau $n$ Kanten enthält, muss sie mindestens so lang sein wie die Summe el $n$ kleinsten Kantenlängen. Eine andere untere Schranke ergibt sich aus el Beobachtung, dass beim Löschen einer beliebigen Kante aus einer ruta ein aufspannender Baum entsteht, also ein Teilgraph, el alle Knoten, aber keine Kreise enthält. Die ruta ist mindestens so lang wie dieser Baum i damit per Definition auch mindestens so lang wie ein minimal aufspannender Baum (also ein aufspannender Baum mit minimaler Summe el Kantenlängen), el sich leicht bestimmen lässt. Da dies für jede ruta gilt, liefert die Länge eines minimal aufspannenden Baums eine untere Schranke für die Länge einer optimalen ruta. Etwas allgemeiner kann man auch einen sogenannten minimalen 1-Baum berechnen. Dies ist ein minimal aufspannender Baum zwischen den Knoten 2 bis $n$ (bei beliebiger Nummerierung), el über die zwei kürzestmöglichen Kanten an den Knoten mit el Nummer 1 angebunden wird (daher el Name). Auch dessen Länge liefert eine untere Schranke. Weiterhin ist jede ruta auch ein perfektes 2-Matching. Das bedeutet also, dass eine kürzeste ruta mindestens so lang sein muss, wie el Wert eines minimalen perfekten 2-Matchings, das sich in O(n³) berechnen lässt.

Descripció general

In el folgenden Übersichtstabelle sind für die meisten hier vorgestellten Heuristiken el Typ des Verfahrens, die maximale Laufzeit bei $n$ ciutats sowie evtl. Gütegarantien für die berechneten solucions aufgeführt. Da die Laufzeit i Qualität von Metaheuristiken stark von el Wahl el Teilalgorithmen abhängig sind i sich nicht allgemein angeben lassen, sind sie hier nicht aufgeführt.

Verfahren	Typ	Laufzeit	Max. Abweichung vom Optimum
Nearest-/Farthest-Neighbor-Heuristik	Eröffnungsheuristik	O(n²)	beliebig groß
Nearest-/Farthest-Insertion-Heuristik	Eröffnungsheuristik	O(n²)	beliebig groß
Minimum-Spanning-Tree-Heuristik	Eröffnungsheuristik	O(n² log n)	Faktor 2 (metrisches problema del viatjant de comerç)
Christofides-Heuristik	Eröffnungsheuristik	O(n³)	Faktor 1,5 (metrisches problema del viatjant de comerç)
K-Opt-Heuristik	Verbesserungsheuristik	O(k!) pro Schritt	beliebig groß
Summe el n kürzesten Kanten	Dualheuristik	O(n² log n)	beliebig groß
Länge eines minimalen aufspannenden Baumes	Dualheuristik	O(n² log n)	beliebig groß

Límits pràctics de la previsibilitat

Die größte Instanz eines (symmetrischen) Rundreiseproblems, die bisher nachweisbar optimal gelöst wurde, ist ein Planungsproblem für das Layout integrierter Schaltkreise mit 33.810 Knoten. Dieser Rekord wurde im Jahre 2005 von William Cook i anderen mit Hilfe einer Kombination aus verschiedenen Heuristiken i dem Branch-and-Cut-basierten Programm Concorde aufgestellt, wobei frühere Teilergebnisse verschiedener universitärer Arbeitsgruppen als Grundlage verwendet wurden. Die bis dahin größte optimal gelöste Instanz bestand aus 24.978 schwedischen ciutats, gelöst im Jahre 2004. Mit Hilfe spezieller Dekompositionstechniken i dem Einsatz mehrerer paralleler Computer haben William Cook u. a. Touren für ein problema del viatjant de comerç auf über 526 Millionen Sternen gefunden, deren Länge nachweislich höchstens 0,798 % vom Optimum abweicht.

Aus el Tatsache, dass ein problema del viatjant de comerç einer bestimmten Größe optimal gelöst werden konnte, folgt jedoch nicht, dass jede Instanz dieser Größe optimal gelöst werden kann, da – wie bei den meisten kombinatorischen Optimierungsproblemen – die Schwierigkeit el Lösung stark von den Eingabeparametern (in diesem Fall den Kantengewichten) abhängt. Ein kleineres problema kann deutlich schwerer lösbar sein; beispielsweise gibt es in el TSPLIB eine aufgrund ihrer vielen Symmetrien schwer optimal zu lösende Instanz mit nur 225 ciutats. Bei TSPs, die aus praktischen Anwendungen entstehen, müssen oft noch weitere Nebenbedingungen, wie beispielsweise Zeitfenster, berücksichtigt werden. Daher sind in el Regel die größten optimal lösbaren Probleminstanzen solcher Varianten deutlich kleiner als beim klassischen problema del viatjant de comerç, so dass in el Praxis oft auf heuristische Ansätze zur Lösung zurückgegriffen wird. Kombinationen von heuristischen Verfahren mit LP-basierten Verfahren wie Branch-and-Cut werden vor allem im Forschungsumfeld eingesetzt, um mit Hilfe unterer Schranken für die Tourlänge die Qualität von solucions i Lösungsverfahren beurteilen zu können.

Variants i aplicacions pràctiques

Schon die in den vorhergehenden Abschnitten beschriebene klassische variant des Problems tritt in vielen Anwendungen auf, beispielsweise in el DNA-Sequenzierung, beim Layout integrierter Schaltkreise oder bei el Steuerung eines Bohrers in el Herstellung von Leiterplatten. Darüber hinaus hat sich aus el Praxis heraus eine nahezu unerschöpfliche Auswahl an beliebig kombinierbaren Varianten entwickelt, die zusammen die Familie el problema del viatjant de comerç bilden i alle NP-schwer sind. Einige dieser Verallgemeinerungen betrachten mehrere Handlungsreisende, während sich andere Varianten durch die grundlegende Veränderung des Optimierungskriteriums oder durch zusätzliche Nebenbedingungen von el klassischen Version unterscheiden.

Die Vorgehensweise in el Praxis unterscheidet sich von el matemàtica Theorie dadurch, dass in el Regel nicht nach einer optimalen Lösung gesucht wird, sondern nur nach einer ausreichend guten. Denn schließlich muss el Gesamtaufwand betrachtet werden, also el Aufwand für Durchführung und Berechnung. Was dabei „gut“ bedeutet i welche Kriterien zum Tragen kommen, hängt dann sehr vom Kontext des Problems ab. So wird man sich für eine einmalige Liefertour weniger Mühe machen als für die Bestückungsplanung einer Leiterplatte, die in einer Millionenauflage hergestellt wird.

Més viatjants

Beim multiple problema del viatjant de comerç (mTSP) werden die ciutats auf mehrere Handlungsreisende aufgeteilt, wobei alle ihre Rundreisen in derselben Stadt starten i ihre Rundreise dort auch wieder beenden. Jede Stadt muss von genau einem Handlungsreisenden besucht werden. Ziel ist die Minimierung el zurückgelegten Gesamtstrecke. In el variant mTSP with nonlazy Salesmen werden nur Rundreisen mit mindestens zwei ciutats zugelassen, so dass sich jeder Rundreisende tatsächlich fortbewegen muss. Die klassische Version ergibt sich als Spezialfall mit nur einem Handlungsreisenden.

Das Vehicle Routing problema (VRP) ist ein multiple problema del viatjant de comerç mit zusätzlichen Kapazitäten. Es entstand direkt aus el praktischen Notwendigkeit el Tourenplanung, bei el Waren aus einem zentralen Depot an Kunden ausgeliefert werden sollen. Die Rundreisen entsprechen den Touren von Transportern mit beschränkter Transportkapazität, die von dem gemeinsamen Depot aus starten i wieder dorthin zurückkehren. Ziel des VRP ist es, alle Kunden möglichst kostengünstig zu beliefern. Dabei kann ein Kunde zwar mehrfach, aber jeweils nur von einem Transporter beliefert werden. In dem Spezialfall, dass die Kapazitäten el Transporter größer sind als die Summe aller Bestellmengen sind, entspricht das VRP dem mTSP i ist daher ebenfalls NP-schwer. Vom Vehicle Routing problema (VRP) abgeleitete Varianten sind:

• Capacitated VRP (CVRP): Alle Transporter haben die gleiche Kapazität.
• Multiple Depot VRP (MDVRP): Die Transporter können von mehreren verschiedenen Depots starten.
• Periodisches VRP (PVRP): el Bedarf el Kunden wächst in zeitlichen Abständen nach. Betrachtet wird eine bestimmte Zeitdauer.
• Split Delivery VRP (SDVRP): Ein Kunde kann von verschiedenen Transportern beliefert werden.
• VRP with Backhauls (VRPB): Lieferanten i deren Abgabemengen werden berücksichtigt.
• Dynamisches VRP (DVRP): Zusätzlicher Bedarf kann während el Berechnung entstehen, was vorzeitig zu berücksichtigen ist.

Grup de ciutats

Beim generalized problema del viatjant de comerç (GTSP) (deutsch: verallgemeinertes problema del viatjant de comerç) werden mehrere ciutats zu einem Cluster zusammengefasst. el Handlungsreisende muss aus jedem Cluster genau eine Stadt besuchen. Das problema del viatjant de comerç ist ein Spezialfall des GTSP, in dem jede Stadt in einem Cluster liegt, el eben nur diese eine Stadt enthält. Jede Instanz des GTSP lässt sich in eine Instanz des einfachen problema del viatjant de comerç überführen i mit den für dieses problema bekannten Algorithmen lösen. Aus diesem Grund ist auch das GTSP NP-schwer.

In el Praxis werden die Lösungsalgorithmen des GTSP z. B. dazu verwendet, den Leerweg von CNC-Schneidemaschinen zu optimieren. Diese werden unter anderem in el Textilbranche eingesetzt, um aus einer großen Bahn Stoff kleinere Teile für Kleidungsstücke auszuschneiden. Hierbei stellen die auszuschneidenden Konturen die Cluster i die möglichen Ansatzpunkte des Schneidwerkzeuges auf den Konturen die ciutats dar.

Canvis en els criteris optimització

Beim Prize Collecting problema del viatjant de comerç (PCTSP) werden dem Handlungsreisenden in jeder Stadt bestimmte Preisgelder bezahlt (beispielsweise Verkaufsumsätze). Um von einer Stadt zur nächsten zu reisen, muss er jedoch wiederum Kosten aufbringen. Er soll nun eine vorgegebene Anzahl von ciutats i eine Rundreise zwischen diesen ciutats so auszuwählen, dass el Gewinn maximal wird. Da das problema als Spezialfall die klassische variant enthält (alle ciutats müssen besucht werden i alle Preisgelder sind 0), ist das PCTSP ebenfalls NP-schwer. Eine von ihm abgeleitete Spezialform ist das Traveling Salesman Selection problema (TSSP), bei dem zu vorgegebenem $k$ eine kürzeste ruta zwischen beliebigen $k$ ciutats gesucht ist, wobei auf Preisgelder verzichtet wird i metrische Distanzen vorausgesetzt werden.

Beim Bottleneck problema del viatjant de comerç (BTSP) soll nicht die Summe el Kantenlängen, sondern die Länge el längsten verwendeten Kante minimiert werden. Dies bewirkt eine weniger starke Streuung el einzelnen Distanzen, um möglichen Engpässen, sogenannten Flaschenhälsen, entgegenzuwirken. Eine verwandte variant ist das maximum scatter problema del viatjant de comerç, bei dem die kleinste verwendete Länge maximiert wird.

Zusätzliche Nebenbedingungen

Eine in praktischen Anwendungen häufig auftretende zusätzliche Einschränkung sind Zeitfenster, in denen eine Stadt besucht werden muss. Beispielsweise vereinbart ein technischer Kundendienst zur Reparatur von Haushaltsgeräten mit seinen Kunden in el Regel einen Zeitraum, in dem el Besuch des Technikers stattfinden soll. Dieser Zeitraum muss bei el anschließenden Planung el Touren durch den Reparaturbetrieb berücksichtigt werden.

Beim Online problema del viatjant de comerç sind nicht alle ciutats von vornherein gegeben, sondern werden erst nach i nach bekannt, während el Handlungsreisende schon unterwegs ist. Dieser muss dann seine ruta auf Basis el jeweils vorhandenen Daten so planen bzw. abändern, dass neue ciutats „möglichst gut“ in seine bisher geplante ruta hineinpassen (was auch immer das in el jeweiligen Anwendung genau bedeutet). Diese variant tritt beispielsweise bei Pannendiensten wie dem ADAC auf, wo die Positionen liegengebliebener cotxes erst nach i nach bekannt werden i die Zentrale versuchen muss, neue Fälle möglichst günstig in die bestehenden Touren el Pannenhelfer einzubauen. Da mehrere von diesen unterwegs sind i die Zentrale bei el Meldung einer avaria auch eine ungefähre Zeitangabe macht, wann ein Pannenhelfer eintreffen wird, handelt es sich hierbei um ein Multiple Online problema del viatjant de comerç mit Zeitfenstern.