Usuari:Alvaro Vidal-Abarca/Bandera de subespais

En matemàtiques, i en particular en el camp de l'àlgebra lineal, una bandera és una successió creixent de subespais d'un espai vectorial V de dimensió finita. El terme creixent fa referència al fet que cada subespai és un subespai propi (no igual) del següent (vegeu filtració (matemàtiques)):

$\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.$

Si escrivim dim V_i = d_i llavors tenim

$0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,$

en què n és la dimensió de V (que hem assumit que és finita). Per tant, tenim que k ≤ n. Hom diu que una bandera és una bandera completa si d_i = i, altrament s'anomena bandera parcial.

Hom pot obtenir una bandera parcial a partir d'una bandera completa, només eliminant alguns dels seus subespais. Recíprocament, qualsevol bandera parcial es pot completar (de diverses maneres) mitjançant la inserció de subespais adients.

La signatura de la bandera és la successió (d₁, …, d_k).

Sota certes condicions, hom pot interpretar aquesta successió com una bandera, en la qual s'obté un punt connectat amb una línia, que al seu torn està connectada a una superfície.

Bases

Hom diu que una base ordenada de V està adaptada a una bandera si els primers d_i vectors de la base formen una base de V_i, per tot 0 ≤ i ≤ k. Mitjançant arguments d'àlgebra lineal, es pot demostrar que qualsevol bandera té una base adaptada.

Qualsevol base ordenada proporciona una bandera completa, si definim cada V_i com l'espai vectorial generat pels primers i vectors de la base. Per exemple, la bandera canònica de ℝⁿ està induïda per la base canònica (e₁, ..., e_n). Concretament, la bandera canònica consta dels subespais:

$\{0\}\subset \left\langle e_{1}\right\rangle \subset \left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle \subset \cdots \subset \left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.$

Una base adaptada gairebé mai no és única (contraexemples trivials); vegeu més endavant.

Una bandera completa sobre un espai prehilbertià té, essencialment, una única base ortonormal: és única, llevat de multiplicar cada vector per una unitat (és a dir, un escalar de magnitud u, com ara 1, -1 o i). Això es pot demostrar per inducció, si tenim en compte que $v_{i}\in V_{i-1}^{\perp }<V_{i}$, que es defineix en forma única llevat d'unitats.

De manera més abstracta, la bandera és única, llevat de l'acció del tor maximal: la bandera correspon al grup de Borel, i el producte intern correspon al subgrup compacte maximal.

Estabilitzador

El subgrup estabilitzador de la bandera canònica és el grup de matrius triangulars superiors.

Més en general, l'estabilitzador d'una bandera (els operadors lineals T sobre V tals que $T(V_{i})\subset V_{i}$ per tot i) és, en termes matricials, l'àlgebra de les matrius triangulars superiors per blocs (respecte a una base adaptada), en què els blocs són de grandària $d_{i}-d_{i-1}$. El subgrup estabilitzador d'una bandera completa és el conjunt de matrius triangulars superiors invertibles respecte a qualsevol base adaptada a la bandera. El subgrup de matrius triangulars inferiors respecte a una base adaptada depèn d'aquesta base, i per tant no es pot caracteritzar només en termes de la bandera.

El subgrup estabilitzador d'una bandera completa és un subgrup de Borel (del grup lineal general), i l'estabilitzador d'una bandera parcial és un subgrup parabòlic.

El subgrup estabilitzador d'una bandera actua de manera simplement transitiva sobre bases adaptades per la bandera, i per tant no són úniques, llevat que l'estabilitzador en sigui trivial. Aquesta és una circumstància excepcional: només succeeix per a un espai vectorial de dimensió 0, o bé per a un espai vectorial sobre $\mathbb {F} _{2}$ de dimensió 1 (justament els casos en què només existeix una base, independentment de les banderes).

Filtracions

Article principal: Filtració (matemàtiques)

En el cas d'un espai vectorial V de dimensió infinita, d'ús en l'anàlisi funcional (per exemple), el concepte de bandera es generalitza a filtració, és a dir, una col·lecció de subespais de V que configuren un ordre total respecte a la inclusió, i que a més és tancat per interseccions arbitràries i per la generació de subespais vectorials.

Anàlegs a teoria de conjunts

Article principal: Cos amb un element

Des del punt de vista del cos amb un element, es pot interpretar un conjunt com un espai vectorial sobre el cos amb un element: això formalitza diverses analogies entre els grups de Coxeter i els grups algebraics.

Amb aquesta identificació, una ordenació d'un conjunt correspon a una bandera maximal: per exemple, la filtració (la bandera) $\{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}$correspon a l'ordenació $\{0,1,2\}$.

Bibliografia

• Shafarevich, Igor R.; Kramer, Alexey O. Remizov; translated by David; Nukludova, Lena. Linear algebra and geometry. Berlín: Springer, 2012. ISBN 978-3-642-30993-9. 

Vegeu també

• Filtració (matemàtiques).
• Varietat de banderes generalitzada.